ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев Углубленный уровень упражнение - 413

Рассмотрим выполнение действий на конкретном примере, а затем дадим общее математическое объяснение. **1. Пример:** Возьмём произвольное трёхзначное число, например, $253$. 1) Умножим его последовательно на $7$, $13$ и $11$: $$ 253 \cdot 7 = 1771 $$ $$ 1771 \cdot 13 = 23023 $$ $$ 23023 \cdot 11 = 253253 $$ 2) В полученном шестизначном числе $253253$ зачеркнём последние три цифры: $$ 253\cancel{253} \rightarrow 253 $$ Осталось исходное трёхзначное число $253$. --- **2. Объяснение:** Пусть произвольное трёхзначное число равно $N = \overline{abc}$. 1) Вычислим произведение множителей $7$, $13$ и $11$: $$ 7 \cdot 13 \cdot 11 = 91 \cdot 11 = 1001 $$ Последовательное умножение числа $N$ на $7$, $13$ и $11$ равносильно его умножению на $1001$: $$ N \cdot 7 \cdot 13 \cdot 11 = N \cdot 1001 $$ 2) Представим число $1001$ как сумму $1000 + 1$ и раскроем скобки: $$ N \cdot 1001 = N \cdot (1000 + 1) = 1000 \cdot N + N $$ Так как $N$ — трёхзначное число, то $1000 \cdot N$ — это число, оканчивающееся на три нуля ($\overline{abc000}$). Прибавив к нему $N$ ($\overline{abc}$), получим шестизначное число, в котором запись исходного трёхзначного числа повторяется дважды: $$ \overline{abc000} + \overline{abc} = \overline{abcabc} $$ 3) Если зачеркнуть последние три цифры в числе $\overline{abcabc}$, мы убираем прибавленное число $\overline{abc}$ и делим оставшуюся часть на $1000$: $$ \frac{\overline{abcabc} - \overline{abc}}{1000} = \frac{\overline{abc000}}{1000} = \overline{abc} = N $$ Таким образом, всегда остаётся исходное трёхзначное число. **Ответ:** останется исходное число. При умножении на $7$, $13$ и $11$ число умножается на $1001$, что даёт шестизначное число вида $\overline{abcabc}$. После зачёркивания трёх последних цифр остаётся исходное число $\overline{abc}$.