ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев Углубленный уровень упражнение - 1488

а) Преобразуем выражения $a$ и $b$, приведя степени к основанию $2$ и вынеся общий множитель за скобки. Для числа $a$: $$ a = 4^{10} + 4^9 + 4^8 = 4^8 \cdot (4^2 + 4^1 + 1) = 4^8 \cdot (16 + 4 + 1) = 4^8 \cdot 21 $$ Так как $4 = 2^2$, получаем: $$ a = (2^2)^8 \cdot 21 = 2^{16} \cdot 21 $$ Для числа $b$: $$ b = 2^6 - 2^5 - 2^3 = 2^3 \cdot (2^3 - 2^2 - 1) = 2^3 \cdot (8 - 4 - 1) = 2^3 \cdot 3 $$ Найдем отношение $\frac{a}{b}$: $$ \frac{a}{b} = \frac{2^{16} \cdot 21}{2^3 \cdot 3} = 2^{16 - 3} \cdot \frac{21}{3} = 2^{13} \cdot 7 $$ Значение $2^{13} \cdot 7$ является целым числом, следовательно, $a$ делится на $b$ нацело ($a = b \cdot 7 \cdot 2^{13}$). Что и требовалось доказать. б) Преобразуем выражения $a$ и $b$, приведя степени к основанию $3$ и вынеся общий множитель за скобки. Для числа $a$: $$ a = 9^7 + 9^6 + 9^5 = 9^5 \cdot (9^2 + 9^1 + 1) = 9^5 \cdot (81 + 9 + 1) = 9^5 \cdot 91 $$ Так как $9 = 3^2$, получаем: $$ a = (3^2)^5 \cdot 91 = 3^{10} \cdot 91 $$ Для числа $b$: $$ b = 3^{10} - 3^9 + 3^8 = 3^8 \cdot (3^2 - 3^1 + 1) = 3^8 \cdot (9 - 3 + 1) = 3^8 \cdot 7 $$ Найдем отношение $\frac{a}{b}$: $$ \frac{a}{b} = \frac{3^{10} \cdot 91}{3^8 \cdot 7} = 3^{10 - 8} \cdot \frac{91}{7} = 3^2 \cdot 13 = 9 \cdot 13 = 117 $$ Частное равно целому числу $117$, следовательно, $a$ делится на $b$ нацело ($a = 117b$). Что и требовалось доказать.