ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев Углубленный уровень упражнение - 1061

Для преобразования произведений в многочлены воспользуемся формулами сокращённого умножения: — разность кубов: $(A - B)(A^2 + AB + B^2) = A^3 - B^3$; — сумма кубов: $(A + B)(A^2 - AB + B^2) = A^3 + B^3$. а) Выражение представляет собой произведение разности выражений $3x$ и $2y$ на их неполный квадрат суммы: $$ (3x - 2y)(9x^2 + 6xy + 4y^2) = (3x - 2y)\left((3x)^2 + 3x \cdot 2y + (2y)^2\right) $$ Применяя формулу разности кубов, получаем: $$ (3x)^3 - (2y)^3 = 27x^3 - 8y^3 $$ б) Выражение представляет собой произведение суммы выражений $5m$ и $3n$ на их неполный квадрат разности: $$ (5m + 3n)(25m^2 - 15mn + 9n^2) = (5m + 3n)\left((5m)^2 - 5m \cdot 3n + (3n)^2\right) $$ Применяя формулу суммы кубов, получаем: $$ (5m)^3 + (3n)^3 = 125m^3 + 27n^3 $$ в) Заметим, что во второй скобке записан неполный квадрат суммы выражений $\frac{1}{5}a$ и $5b$, так как $\left(\frac{1}{5}a\right)^2 = \frac{1}{25}a^2$, $\frac{1}{5}a \cdot 5b = ab$ и $(5b)^2 = 25b^2$: $$ \left(\frac{1}{5}a - 5b\right)\left(\frac{1}{25}a^2 + ab + 25b^2\right) = \left(\frac{1}{5}a - 5b\right)\left(\left(\frac{1}{5}a\right)^2 + \frac{1}{5}a \cdot 5b + (5b)^2\right) $$ Сворачиваем по формуле разности кубов: $$ \left(\frac{1}{5}a\right)^3 - (5b)^3 = \frac{1}{125}a^3 - 125b^3 $$ г) Запишем десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,25 = \frac{1}{4}$. Тогда первая скобка принимает вид $\left(\frac{1}{4}m^2 + 4n\right)$. Проверим слагаемые во второй скобке: $\left(\frac{1}{4}m^2\right)^2 = \frac{1}{16}m^4$, $\frac{1}{4}m^2 \cdot 4n = m^2n$, $(4n)^2 = 16n^2$. Перед нами формула суммы кубов: $$ (0,25m^2 + 4n)\left(\frac{1}{16}m^4 - m^2n + 16n^2\right) = \left(\frac{1}{4}m^2 + 4n\right)\left(\left(\frac{1}{4}m^2\right)^2 - \frac{1}{4}m^2 \cdot 4n + (4n)^2\right) $$ $$ = \left(\frac{1}{4}m^2\right)^3 + (4n)^3 = \frac{1}{64}m^6 + 64n^3 $$ *(или в десятичных дробях: $0,015625m^6 + 64n^3$)* **Ответ:** а) $27x^3 - 8y^3$; б) $125m^3 + 27n^3$; в) $\frac{1}{125}a^3 - 125b^3$; г) $\frac{1}{64}m^6 + 64n^3$.