ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев Углубленный уровень упражнение - 1057

а) Применим формулы куба разности $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ и квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $$ (3p - 4)^3 = (3p)^3 - 3 \cdot (3p)^2 \cdot 4 + 3 \cdot 3p \cdot 4^2 - 4^3 = 27p^3 - 108p^2 + 144p - 64 $$ $$ (11p - 8)^2 = (11p)^2 - 2 \cdot 11p \cdot 8 + 8^2 = 121p^2 - 176p + 64 $$ Сложим полученные многочлены и приведём подобные слагаемые: $$ (3p - 4)^3 + (11p - 8)^2 = 27p^3 - 108p^2 + 144p - 64 + 121p^2 - 176p + 64 $$ $$ = 27p^3 + (-108p^2 + 121p^2) + (144p - 176p) + (-64 + 64) = 27p^3 + 13p^2 - 32p $$ б) Применим формулы куба суммы $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ и квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $$ (2k + 3)^3 = (2k)^3 + 3 \cdot (2k)^2 \cdot 3 + 3 \cdot 2k \cdot 3^2 + 3^3 = 8k^3 + 36k^2 + 54k + 27 $$ $$ (6k + 5)^2 = (6k)^2 + 2 \cdot 6k \cdot 5 + 5^2 = 36k^2 + 60k + 25 $$ Вычтем второй многочлен из первого, раскрывая скобки с противоположными знаками: $$ (2k + 3)^3 - (6k + 5)^2 = (8k^3 + 36k^2 + 54k + 27) - (36k^2 + 60k + 25) $$ $$ = 8k^3 + 36k^2 + 54k + 27 - 36k^2 - 60k - 25 $$ $$ = 8k^3 + (36k^2 - 36k^2) + (54k - 60k) + (27 - 25) = 8k^3 - 6k + 2 $$ в) Раскроем квадрат суммы и умножим результат на $2y$: $$ 2y(x + 2y)^2 = 2y(x^2 + 4xy + 4y^2) = 2x^2y + 8xy^2 + 8y^3 $$ Раскроем куб разности: $$ (x - 2y)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot (2y) + 3 \cdot x \cdot (2y)^2 - (2y)^3 = x^3 - 6x^2y + 12xy^2 - 8y^3 $$ Сложим полученные выражения и приведём подобные слагаемые: $$ 2y(x + 2y)^2 + (x - 2y)^3 = 2x^2y + 8xy^2 + 8y^3 + x^3 - 6x^2y + 12xy^2 - 8y^3 $$ $$ = x^3 + (2x^2y - 6x^2y) + (8xy^2 + 12xy^2) + (8y^3 - 8y^3) = x^3 - 4x^2y + 20xy^2 $$ г) Раскроем квадрат разности и умножим результат на $2x$: $$ 2x(2x - y)^2 = 2x(4x^2 - 4xy + y^2) = 8x^3 - 8x^2y + 2xy^2 $$ Раскроем куб суммы: $$ (2x + y)^3 = (2x)^3 + 3 \cdot (2x)^2 \cdot y + 3 \cdot 2x \cdot y^2 + y^3 = 8x^3 + 12x^2y + 6xy^2 + y^3 $$ Вычтем полученный куб суммы из первого выражения: $$ 2x(2x - y)^2 - (2x + y)^3 = (8x^3 - 8x^2y + 2xy^2) - (8x^3 + 12x^2y + 6xy^2 + y^3) $$ $$ = 8x^3 - 8x^2y + 2xy^2 - 8x^3 - 12x^2y - 6xy^2 - y^3 $$ $$ = (8x^3 - 8x^3) + (-8x^2y - 12x^2y) + (2xy^2 - 6xy^2) - y^3 = -20x^2y - 4xy^2 - y^3 $$ **Ответ:** а) $27p^3 + 13p^2 - 32p$; б) $8k^3 - 6k + 2$; в) $x^3 - 4x^2y + 20xy^2$; г) $-20x^2y - 4xy^2 - y^3$.