ГДЗ по алгебре 7 класс Колягин Базовый уровень упражнение - 755

### 1) $$ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{7}{12}, \\ \frac{2}{y} - \frac{1}{x} = \frac{1}{6}. \end{cases} $$ Область допустимых значений: $x \neq 0$, $y \neq 0$. Введём новые переменные: пусть $u = \frac{1}{x}$, $v = \frac{1}{y}$. Тогда система принимает вид: $$ \begin{cases} u + v = \frac{7}{12}, \\ -u + 2v = \frac{1}{6}. \end{cases} $$ Сложим первое и второе уравнения системы: $$ (u - u) + (v + 2v) = \frac{7}{12} + \frac{1}{6} $$ $$ 3v = \frac{7}{12} + \frac{2}{12} $$ $$ 3v = \frac{9}{12} $$ $$ 3v = \frac{3}{4} $$ $$ v = \frac{3}{4} : 3 = \frac{1}{4} $$ Подставим найденное значение $v = \frac{1}{4}$ в первое уравнение: $$ u + \frac{1}{4} = \frac{7}{12} $$ $$ u = \frac{7}{12} - \frac{3}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} $$ Выполним обратную замену: $$ \frac{1}{x} = \frac{1}{3} \implies x = 3 $$ $$ \frac{1}{y} = \frac{1}{4} \implies y = 4 $$ Оба значения удовлетворяют ОДЗ. Ответ: $(3; 4)$. --- ### 2) $$ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{5}{y} = 35, \\ \frac{3}{x} + \frac{2}{y} = 27. \end{cases} $$ *(Во втором уравнении исправлена опечатка условия: второе слагаемое содержит переменную $y$ в знаменателе).* Область допустимых значений: $x \neq 0$, $y \neq 0$. Введём замену переменных: пусть $u = \frac{1}{x}$, $v = \frac{1}{y}$. Получаем систему линейных уравнений: $$ \begin{cases} u + 5v = 35, \\ 3u + 2v = 27. \end{cases} $$ Умножим первое уравнение на $3$: $$ \begin{cases} 3u + 15v = 105, \\ 3u + 2v = 27. \end{cases} $$ Вычтем из первого уравнения второе: $$ (3u - 3u) + (15v - 2v) = 105 - 27 $$ $$ 13v = 78 $$ $$ v = 6 $$ Подставим $v = 6$ в уравнение $u + 5v = 35$: $$ u + 5 \cdot 6 = 35 $$ $$ u + 30 = 35 $$ $$ u = 5 $$ Выполним обратную замену: $$ \frac{1}{x} = 5 \implies x = \frac{1}{5} = 0{,}2 $$ $$ \frac{1}{y} = 6 \implies y = \frac{1}{6} $$ Оба значения удовлетворяют ОДЗ. *(Примечание: если решать второе уравнение строго по исходной записи $\frac{3}{x} + \frac{2}{x} = 27$, то $\frac{5}{x} = 27 \implies x = \frac{5}{27}$, откуда $y = \frac{25}{148}$).* Ответ: $\left(\frac{1}{5}; \frac{1}{6}\right)$. --- ### 3) $$ \begin{cases} \frac{3}{x + y} + \frac{5}{x - y} = 4, \\ \frac{1}{x + y} + \frac{15}{x - y} = 4. \end{cases} $$ Область допустимых значений: $x + y \neq 0$, $x - y \neq 0$. Пусть $u = \frac{1}{x + y}$, $v = \frac{1}{x - y}$. Получаем систему: $$ \begin{cases} 3u + 5v = 4, \\ u + 15v = 4. \end{cases} $$ Умножим второе уравнение на $3$: $$ \begin{cases} 3u + 5v = 4, \\ 3u + 45v = 12. \end{cases} $$ Вычтем из второго уравнения первое: $$ (3u - 3u) + (45v - 5v) = 12 - 4 $$ $$ 40v = 8 $$ $$ v = \frac{8}{40} = \frac{1}{5} $$ Подставим $v = \frac{1}{5}$ во второе уравнение: $$ u + 15 \cdot \frac{1}{5} = 4 $$ $$ u + 3 = 4 $$ $$ u = 1 $$ Возвращаемся к переменным $x$ и $y$: $$ \begin{cases} \frac{1}{x + y} = 1, \\ \frac{1}{x - y} = \frac{1}{5}; \end{cases} \implies \begin{cases} x + y = 1, \\ x - y = 5. \end{cases} $$ Сложим уравнения: $$ 2x = 6 \implies x = 3 $$ Вычтем из первого уравнения второе: $$ 2y = -4 \implies y = -2 $$ Проверим ОДЗ: $x + y = 3 - 2 = 1 \neq 0$ и $x - y = 3 - (-2) = 5 \neq 0$ — условия выполнены. Ответ: $(3; -2)$. --- ### 4) $$ \begin{cases} \frac{10}{x + y} - \frac{4}{x - y} = 3, \\ \frac{7}{x + y} - \frac{6}{x - y} = 2. \end{cases} $$ Область допустимых значений: $x + y \neq 0$, $x - y \neq 0$. Пусть $u = \frac{1}{x + y}$, $v = \frac{1}{x - y}$. Запишем систему относительно $u$ и $v$: $$ \begin{cases} 10u - 4v = 3, \\ 7u - 6v = 2. \end{cases} $$ Умножим первое уравнение на $3$, а второе — на $2$: $$ \begin{cases} 30u - 12v = 9, \\ 14u - 12v = 4. \end{cases} $$ Вычтем из первого уравнения второе: $$ 16u = 5 \implies u = \frac{5}{16} $$ Подставим $u = \frac{5}{16}$ в первое уравнение: $$ 10 \cdot \frac{5}{16} - 4v = 3 $$ $$ \frac{25}{8} - 4v = 3 $$ $$ 4v = \frac{25}{8} - \frac{24}{8} $$ $$ 4v = \frac{1}{8} \implies v = \frac{1}{32} $$ Возвращаемся к переменным $x$ и $y$: $$ \begin{cases} \frac{1}{x + y} = \frac{5}{16}, \\ \frac{1}{x - y} = \frac{1}{32}; \end{cases} \implies \begin{cases} x + y = \frac{16}{5}, \\ x - y = 32. \end{cases} $$ Переведём обыкновенную дробь в десятичную: $\frac{16}{5} = 3{,}2$. $$ \begin{cases} x + y = 3{,}2, \\ x - y = 32. \end{cases} $$ Сложим уравнения: $$ 2x = 35{,}2 \implies x = 17{,}6 $$ Вычтем из первого уравнения второе: $$ 2y = -28{,}8 \implies y = -14{,}4 $$ Проверим ОДЗ: $x + y = 3{,}2 \neq 0$ и $x - y = 32 \neq 0$ — условия выполнены. Ответ: $(17{,}6; -14{,}4)$.