ГДЗ по алгебре 7 класс Колягин Базовый уровень упражнение - 692

1) $15y - 8x = 76$ Выразим переменную $x$ через $y$: $$ 8x = 15y - 76 $$ $$ x = \frac{15y - 76}{8} $$ Выделим целую часть: $$ x = \frac{16y - y - 80 + 4}{8} = 2y - 10 - \frac{y - 4}{8} $$ Число $x$ будет целым тогда и только тогда, когда разность $y - 4$ делится нацело на $8$. Значит, $y - 4 = 8k$, откуда: $$ y = 8k + 4, \quad \text{где } k \text{ — целое число} $$ Подставим выражение для $y$ в формулу для $x$: $$ x = \frac{15(8k + 4) - 76}{8} = \frac{120k + 60 - 76}{8} = \frac{120k - 16}{8} = 15k - 2 $$ По условию $x$ и $y$ — натуральные числа, то есть $x \ge 1$ и $y \ge 1$: $$ \begin{cases} 8k + 4 \ge 1 \\ 15k - 2 \ge 1 \end{cases} \implies \begin{cases} 8k \ge -3 \\ 15k \ge 3 \end{cases} \implies k \ge 1 $$ Значит, $k$ — любое натуральное число ($k \in \mathbb{N}$). Ответ: $(15k - 2; 8k + 4)$, где $k \in \mathbb{N}$. --- 2) $9y - 2x = 20$ Выразим переменную $x$ через $y$: $$ 2x = 9y - 20 $$ $$ x = \frac{9y - 20}{2} = 4y - 10 + \frac{y}{2} $$ Число $x$ будет целым тогда и только тогда, когда $y$ делится на $2$, то есть $y$ — четное число: $$ y = 2k, \quad \text{где } k \text{ — целое число} $$ Подставим $y = 2k$ в выражение для $x$: $$ x = \frac{9(2k) - 20}{2} = 9k - 10 $$ Числа $x$ и $y$ должны быть натуральными ($x \ge 1$ и $y \ge 1$): $$ \begin{cases} 2k \ge 1 \\ 9k - 10 \ge 1 \end{cases} \implies \begin{cases} k \ge 1 \\ 9k \ge 11 \end{cases} \implies k \ge 2 $$ Значит, $k$ — любое натуральное число, удовлетворяющее условию $k \ge 2$. Ответ: $(9k - 10; 2k)$, где $k \in \mathbb{N}$, $k \ge 2$. --- 3) $5y - 3x = 26$ Выразим переменную $x$ через $y$: $$ 3x = 5y - 26 $$ $$ x = \frac{5y - 26}{3} $$ Выделим целую часть: $$ x = \frac{6y - y - 27 + 1}{3} = 2y - 9 - \frac{y - 1}{3} $$ Число $x$ будет целым тогда и только тогда, когда разность $y - 1$ делится на $3$: $$ y - 1 = 3k \implies y = 3k + 1, \quad \text{где } k \text{ — целое число} $$ Подставим выражение для $y$ в формулу для $x$: $$ x = \frac{5(3k + 1) - 26}{3} = \frac{15k + 5 - 26}{3} = \frac{15k - 21}{3} = 5k - 7 $$ Учтем, что $x$ и $y$ — натуральные числа ($x \ge 1$ и $y \ge 1$): $$ \begin{cases} 3k + 1 \ge 1 \\ 5k - 7 \ge 1 \end{cases} \implies \begin{cases} 3k \ge 0 \\ 5k \ge 8 \end{cases} \implies k \ge 2 $$ Значит, $k$ — любое натуральное число, удовлетворяющее условию $k \ge 2$. Ответ: $(5k - 7; 3k + 1)$, где $k \in \mathbb{N}$, $k \ge 2$. --- 4) $4y - 3x = 20$ Выразим переменную $x$ через $y$: $$ 3x = 4y - 20 $$ $$ x = \frac{4y - 20}{3} $$ Выделим целую часть: $$ x = \frac{3y + y - 18 - 2}{3} = y - 6 + \frac{y - 2}{3} $$ Число $x$ будет целым тогда и только тогда, когда разность $y - 2$ делится на $3$: $$ y - 2 = 3k \implies y = 3k + 2, \quad \text{где } k \text{ — целое число} $$ Подставим выражение для $y$ в формулу для $x$: $$ x = \frac{4(3k + 2) - 20}{3} = \frac{12k + 8 - 20}{3} = \frac{12k - 12}{3} = 4k - 4 $$ Так как $x$ и $y$ — натуральные числа ($x \ge 1$ и $y \ge 1$): $$ \begin{cases} 3k + 2 \ge 1 \\ 4k - 4 \ge 1 \end{cases} \implies \begin{cases} 3k \ge -1 \\ 4k \ge 5 \end{cases} \implies k \ge 2 $$ Значит, $k$ — любое натуральное число, удовлетворяющее условию $k \ge 2$. Ответ: $(4k - 4; 3k + 2)$, где $k \in \mathbb{N}$, $k \ge 2$.