ГДЗ по алгебре 7 класс Колягин Базовый уровень упражнение - 219

Запишем данное трёхзначное число в виде суммы разрядных слагаемых: $$ 100a + 10b + c $$ Число, записанное теми же цифрами, но взятыми в обратном порядке, содержит $c$ сотен, $b$ десятков и $a$ единиц: $$ 100c + 10b + a $$ 1) Составим сумму данного числа и числа, записанного в обратном порядке, и упростим её: $$ (100a + 10b + c) + (100c + 10b + a) = 100a + 10b + c + 100c + 10b + a $$ Приведём подобные слагаемые: $$ (100a + a) + (10b + 10b) + (c + 100c) = 101a + 20b + 101c $$ Можно также вынести общий множитель $101$: $$ 101(a + c) + 20b $$ 2) Составим разность данного числа и числа, записанного в обратном порядке: $$ (100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 100a + 10b + c - 100c - 10b - a $$ Приведём подобные слагаемые: $$ (100a - a) + (10b - 10b) + (c - 100c) = 99a - 99c = 99(a - c) $$ Докажем, что полученная разность делится на $9$ и на $11$: Так как $a$ и $c$ — цифры и по условию $a > c$, разность $(a - c)$ является натуральным числом. Число $99$ делится на $9$ и на $11$, так как $99 = 9 \cdot 11$. Запишем полученное выражение двумя способами: - $99(a - c) = 9 \cdot 11(a - c)$ — один из множителей делится на $9$, следовательно, и всё произведение делится на $9$; - $99(a - c) = 11 \cdot 9(a - c)$ — один из множителей делится на $11$, следовательно, и всё произведение делится на $11$. Что и требовалось доказать. **Ответ:** 1) $101a + 20b + 101c$ (или $101(a + c) + 20b$); 2) $99(a - c)$.