ГДЗ по алгебре 7 класс Колягин Базовый уровень нужно вспомнить - §38

### 1. Нахождение координат точек на координатной плоскости Чтобы определить координаты заданной точки $A$ на координатной плоскости: 1. Провести из точки $A$ перпендикуляр к оси абсцисс ($Ox$). Точка пересечения покажет значение первой координаты — **абсциссы** ($x$). 2. Провести из точки $A$ перпендикуляр к оси ординат ($Oy$). Точка пересечения покажет значение второй координаты — **ординаты** ($y$). 3. Записать координаты точки в виде пары чисел: $A(x; y)$. *Пример:* если перпендикуляр из точки $M$ попадает в число $3$ на оси $Ox$ и в число $-4$ на оси $Oy$, то точка записывается как $M(3; -4)$. --- ### 2. Построение точек по заданным координатам Чтобы построить точку $B(x_0; y_0)$: 1. Найти на оси абсцисс ($Ox$) значение $x_0$ и провести через него мысленно или пунктиром прямую, параллельную оси $Oy$. 2. Найти на оси ординат ($Oy$) значение $y_0$ и провести через него прямую, параллельную оси $Ox$. 3. Точка пересечения этих двух прямых и есть искомая точка $B(x_0; y_0)$. *Пример:* для точки $K(-2; 5)$ откладываем по оси $Ox$ значение $-2$, а по оси $Oy$ значение $5$. Пересечение линий дает точку $K$. --- ### 3. Построение графика линейной функции Линейная функция задаётся формулой: $$ y = kx + b $$ Графиком линейной функции является прямая линия. Через любые две различные точки плоскости можно провести только одну прямую, поэтому для построения графика достаточно найти координаты двух точек: 1. Выбрать два произвольных (удобных для счета) значения аргумента $x_1$ и $x_2$. 2. Вычислить соответствующие значения функции $y_1 = kx_1 + b$ и $y_2 = kx_2 + b$. 3. Отметить полученные точки $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ на координатной плоскости. 4. Провести через них прямую линию с помощью линейки. *Пример:* построить график функции $y = 2x - 1$. - Если $x = 0$, то $y = 2 \cdot 0 - 1 = -1$. Получили точку $(0; -1)$. - Если $x = 2$, то $y = 2 \cdot 2 - 1 = 3$. Получили точку $(2; 3)$. - Отмечаем точки $(0; -1)$ и $(2; 3)$ и проводим через них прямую. --- ### 4. Понятия параллельных и пересекающихся прямых Пусть две прямые заданы уравнениями линейных функций: $$ y = k_1x + b_1 \quad \text{и} \quad y = k_2x + b_2 $$ Число $k$ называют угловым коэффициентом прямой: - **Пересекающиеся прямые:** если угловые коэффициенты различны ($k_1 \neq k_2$), то прямые пересекаются и имеют ровно одну общую точку. - **Параллельные прямые:** если угловые коэффициенты одинаковы, а свободные члены различны ($k_1 = k_2$ и $b_1 \neq b_2$), то прямые параллельны и не имеют общих точек. - **Совпадающие прямые:** если $k_1 = k_2$ и $b_1 = b_2$, то прямые совпадают (имеют бесконечно много общих точек). *Пример:* - Прямые $y = 3x + 1$ и $y = -2x + 4$ пересекаются, так как $3 \neq -2$. - Прямые $y = 4x - 5$ и $y = 4x + 7$ параллельны, так как $k_1 = k_2 = 4$, а $-5 \neq 7$. --- ### 5. Решение систем линейных уравнений с двумя неизвестными #### Способ подстановки Алгоритм: 1. Выразить из одного (более простого) уравнения одну переменную через другую (например, $y$ через $x$). 2. Подставить полученное выражение вместо этой переменной во второе уравнение системы. 3. Решить получившееся уравнение с одной неизвестной и найти значение этой переменной. 4. Подставить найденное числовое значение в выражение для первой переменной и вычислить её значение. *Пример:* $$ \begin{cases} x + 2y = 5 \\ 3x - y = 1 \end{cases} $$ Выразим $x$ из первого уравнения: $x = 5 - 2y$. Подставим во второе уравнение: $$ 3(5 - 2y) - y = 1 $$ $$ 15 - 6y - y = 1 $$ $$ -7y = 1 - 15 $$ $$ -7y = -14 \implies y = 2 $$ Найдём $x$: $x = 5 - 2 \cdot 2 = 5 - 4 = 1$. Ответ: $(1; 2)$. #### Способ алгебраического сложения Алгоритм: 1. Умножить почленно одно или оба уравнения на такие множители, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами (или одинаковыми). 2. Сложить (или вычесть) почленно полученные уравнения, в результате чего исключится одна переменная. 3. Решить полученное уравнение с одной переменной. 4. Подставить найденное значение в любое из начальных уравнений и найти вторую переменную. *Пример:* $$ \begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 5x - 3y = 14 \end{cases} $$ Коэффициенты при $y$ уже противоположны ($3$ и $-3$). Сложим почленно уравнения системы: $$ (2x + 5x) + (3y - 3y) = 7 + 14 $$ $$ 7x = 21 \implies x = 3 $$ Подставим $x = 3$ в первое уравнение: $$ 2 \cdot 3 + 3y = 7 $$ $$ 6 + 3y = 7 $$ $$ 3y = 1 \implies y = \frac{1}{3} $$ Ответ: $\left(3; \frac{1}{3}\right)$.