ГДЗ по алгебре 7 класс Алимов номер - 675

### Задание № 675 Показать, что система уравнений имеет бесконечно много решений: 1) $$ \begin{cases} x = 5 - y, \\ y = 5 - x; \end{cases} $$ Подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе уравнение: $$ y = 5 - (5 - y) $$ $$ y = 5 - 5 + y $$ $$ y = y $$ $$ 0 \cdot y = 0 $$ Равенство $0 \cdot y = 0$ верно при любом значении переменной $y$. Для любого значения $y$ переменная $x$ находится по формуле $x = 5 - y$. Следовательно, система уравнений имеет бесконечно много решений вида $(5 - y; y)$, где $y$ — любое число. 2) $$ \begin{cases} 2x + 3y = 13, \\ y = \dfrac{13 - 2x}{3}. \end{cases} $$ Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое уравнение: $$ 2x + 3 \cdot \dfrac{13 - 2x}{3} = 13 $$ Сократим тройки: $$ 2x + (13 - 2x) = 13 $$ $$ 2x + 13 - 2x = 13 $$ $$ 13 = 13 $$ $$ 0 \cdot x = 0 $$ Равенство $0 \cdot x = 0$ верно при любом значении переменной $x$. Для любого значения $x$ переменная $y$ находится по формуле $y = \dfrac{13 - 2x}{3}$. Следовательно, система уравнений имеет бесконечно много решений вида $\left(x; \dfrac{13 - 2x}{3}\right)$, где $x$ — любое число. --- ### Проверь себя! **1.** Проверить, является ли пара чисел $x = 2$ и $y = 1$ решением системы уравнений: $$ \begin{cases} 2x - 3y = 1, \\ 5x + y = 11. \end{cases} $$ Подставим значения $x = 2$ и $y = 1$ в каждое из уравнений системы: 1) Для первого уравнения: $2 \cdot 2 - 3 \cdot 1 = 4 - 3 = 1$ — верно ($1 = 1$). 2) Для второго уравнения: $5 \cdot 2 + 1 = 10 + 1 = 11$ — верно ($11 = 11$). Так как оба равенства верны, пара чисел является решением данной системы уравнений. Ответ: является. **2.** Решить систему уравнений: а) $$ \begin{cases} x + y = 2, \\ 3x + 4y = 5. \end{cases} $$ Выразим $x$ через $y$ из первого уравнения: $$ x = 2 - y $$ Подставим полученное выражение во второе уравнение: $$ 3(2 - y) + 4y = 5 $$ $$ 6 - 3y + 4y = 5 $$ $$ y = 5 - 6 $$ $$ y = -1 $$ Найдем значение $x$: $$ x = 2 - (-1) = 2 + 1 = 3 $$ Ответ: $(3; -1)$. б) $$ \begin{cases} 3x + 4y = -1, \\ 2x - 5y = 7. \end{cases} $$ Решим систему способом сложения. Умножим первое уравнение на $5$, а второе уравнение на $4$: $$ \begin{cases} 15x + 20y = -5, \\ 8x - 20y = 28. \end{cases} $$ Сложим почленно оба уравнения системы: $$ (15x + 8x) + (20y - 20y) = -5 + 28 $$ $$ 23x = 23 $$ $$ x = 1 $$ Подставим значение $x = 1$ в первое уравнение исходной системы: $$ 3 \cdot 1 + 4y = -1 $$ $$ 3 + 4y = -1 $$ $$ 4y = -1 - 3 $$ $$ 4y = -4 $$ $$ y = -1 $$ Ответ: $(1; -1)$. **3.** Задача. Пусть в одном ящике содержится $x$ кг яблок, а в одном ящике — $y$ кг груш. По условию задачи масса яблок в $5$ ящиках и груш в $3$ ящиках составляет $70$ кг, то есть: $$ 5x + 3y = 70 $$ Масса груш в $1$ ящике и яблок в $2$ ящиках составляет $26$ кг, то есть: $$ 2x + y = 26 $$ Составим и решим систему уравнений: $$ \begin{cases} 5x + 3y = 70, \\ 2x + y = 26. \end{cases} $$ Из второго уравнения выразим $y$: $$ y = 26 - 2x $$ Подставим это выражение в первое уравнение: $$ 5x + 3(26 - 2x) = 70 $$ $$ 5x + 78 - 6x = 70 $$ $$ -x + 78 = 70 $$ $$ -x = 70 - 78 $$ $$ -x = -8 $$ $$ x = 8 $$ Значит, масса яблок в одном ящике равна $8$ кг. Найдем массу груш в одном ящике: $$ y = 26 - 2 \cdot 8 = 26 - 16 = 10\text{ (кг)} $$ Ответ: $8$ кг яблок и $10$ кг груш.