ГДЗ по алгебре 7 класс Алимов номер - 522

Рассмотрим разность левой и правой частей доказываемого равенства: $$ \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} - 1 $$ Приведем выражение к общему знаменателю $(b+c)(c+a)(a+b)$. Так как по условию $a+b \neq 0$, $b+c \neq 0$ и $c+a \neq 0$, общий знаменатель не равен нулю. Числитель $N$ полученной дроби равен: $$ N = a(c+a)(a+b) + b(b+c)(a+b) + c(b+c)(c+a) - (b+c)(c+a)(a+b) $$ Раскроем скобки в первых трех слагаемых: $$ a(a+c)(a+b) = a(a^2 + ab + ac + bc) = a^3 + a^2b + a^2c + abc $$ $$ b(b+c)(b+a) = b(b^2 + ab + bc + ac) = b^3 + ab^2 + b^2c + abc $$ $$ c(c+b)(c+a) = c(c^2 + ac + bc + ab) = c^3 + ac^2 + bc^2 + abc $$ Сложим эти три выражения: $$ a(c+a)(a+b) + b(b+c)(a+b) + c(b+c)(c+a) = a^3 + b^3 + c^3 + (a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2) + 3abc $$ Раскроем скобки в выражении $(b+c)(c+a)(a+b)$: $$ (b+c)(c+a)(a+b) = (ab + b^2 + ac + bc)(c+a) = abc + a^2b + b^2c + ab^2 + ac^2 + a^2c + bc^2 + abc $$ $$ (b+c)(c+a)(a+b) = (a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2) + 2abc $$ Подставим полученные результаты в числитель $N$ и приведем подобные слагаемые: $$ N = a^3 + b^3 + c^3 + (a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2) + 3abc - \left((a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2) + 2abc\right) $$ $$ N = a^3 + b^3 + c^3 + 3abc - 2abc = a^3 + b^3 + c^3 + abc $$ По условию задачи $a^3 + b^3 + c^3 + abc = 0$, следовательно, числитель дроби равен нулю: $$ N = 0 $$ Таким образом: $$ \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} - 1 = \frac{0}{(b+c)(c+a)(a+b)} = 0 $$ Отсюда следует: $$ \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} = 1 $$ Равенство доказано.