ГДЗ по алгебре 7 класс Алимов номер - 511

### 1) $$ \frac{64x^2y^2 - 1}{x^2 - 4} \cdot \frac{(x+2)^2}{x^2 - 4} \cdot \frac{(x-2)^2}{8xy + 1} $$ Разложим многочлены на множители, применяя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$: - $64x^2y^2 - 1 = (8xy)^2 - 1^2 = (8xy - 1)(8xy + 1)$; - $x^2 - 4 = x^2 - 2^2 = (x - 2)(x + 2)$. Запишем произведение дробей под общей дробной чертой: $$ \frac{(8xy - 1)(8xy + 1) \cdot (x + 2)^2 \cdot (x - 2)^2}{(x - 2)(x + 2) \cdot (x - 2)(x + 2) \cdot (8xy + 1)} $$ В знаменателе сгруппируем одинаковые множители: $(x - 2)(x + 2) \cdot (x - 2)(x + 2) = (x - 2)^2(x + 2)^2$. Получаем: $$ \frac{(8xy - 1)(8xy + 1)(x + 2)^2(x - 2)^2}{(x - 2)^2(x + 2)^2(8xy + 1)} $$ Сократим дробь на общие множители $(8xy + 1)$, $(x + 2)^2$ и $(x - 2)^2$: $$ = 8xy - 1 $$ **Ответ:** $8xy - 1$ --- ### 2) $$ \frac{x-6}{x^2 + 6x + 9} \cdot \frac{x^2 + 4x + 4}{(x^2 + 2)(x-2)} \cdot \frac{x^3 - 9x}{(x-6)(x+2)} $$ Разложим числители и знаменатели на множители: - $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$ — по формуле квадрата суммы; - $x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$ — по формуле квадрата суммы; - $x^3 - 9x = x(x^2 - 9) = x(x - 3)(x + 3)$ — вынесение общего множителя за скобки и разность квадратов. Запишем произведение под одной дробной чертой: $$ \frac{(x - 6) \cdot (x + 2)^2 \cdot x(x - 3)(x + 3)}{(x + 3)^2 \cdot (x^2 + 2)(x - 2) \cdot (x - 6)(x + 2)} $$ Выполним сокращение: - сократим на $(x - 6)$; - сократим на $(x + 2)$ (в числителе останется $x + 2$ в первой степени); - сократим на $(x + 3)$ (в знаменателе останется $x + 3$ в первой степени). Получаем: $$ \frac{x(x + 2)(x - 3)}{(x + 3)(x - 2)(x^2 + 2)} $$ **Ответ:** $\frac{x(x + 2)(x - 3)}{(x + 3)(x - 2)(x^2 + 2)}$ --- ### 3) $$ \frac{am^2 - an^2}{m^2 + 2mn + n^2} : \frac{am^2 - 2amn + an^2}{3m + 3n} $$ Разложим числители и знаменатели на множители: - $am^2 - an^2 = a(m^2 - n^2) = a(m - n)(m + n)$; - $m^2 + 2mn + n^2 = (m + n)^2$; - $am^2 - 2amn + an^2 = a(m^2 - 2mn + n^2) = a(m - n)^2$; - $3m + 3n = 3(m + n)$. Заменим операцию деления умножением на обратную дробь: $$ \frac{a(m - n)(m + n)}{(m + n)^2} \cdot \frac{3(m + n)}{a(m - n)^2} $$ Запишем под одной дробной чертой: $$ \frac{3a(m - n)(m + n)^2}{a(m + n)^2(m - n)^2} $$ Сократим дробь на $a$, на $(m + n)^2$ и на $(m - n)$: $$ = \frac{3}{m - n} $$ **Ответ:** $\frac{3}{m - n}$ --- ### 4) $$ \frac{ab - 4b - 2a + 8}{2a + 8 - ab - 4b} : \frac{2a - 8 - ab + 4b}{ab + 4b - 2a - 8} $$ Разложим на множители каждое выражение методом группировки: - $ab - 4b - 2a + 8 = b(a - 4) - 2(a - 4) = (a - 4)(b - 2)$; - $2a + 8 - ab - 4b = 2(a + 4) - b(a + 4) = (a + 4)(2 - b) = -(a + 4)(b - 2)$; - $2a - 8 - ab + 4b = 2(a - 4) - b(a - 4) = (a - 4)(2 - b) = -(a - 4)(b - 2)$; - $ab + 4b - 2a - 8 = b(a + 4) - 2(a + 4) = (a + 4)(b - 2)$. Подставим полученные разложения в исходное выражение: $$ \frac{(a - 4)(b - 2)}{-(a + 4)(b - 2)} : \frac{-(a - 4)(b - 2)}{(a + 4)(b - 2)} $$ Сократим множитель $(b - 2)$ в каждой дроби: $$ \left(-\frac{a - 4}{a + 4}\right) : \left(-\frac{a - 4}{a + 4}\right) $$ Заменим деление умножением на обратную дробь: $$ \left(-\frac{a - 4}{a + 4}\right) \cdot \left(-\frac{a + 4}{a - 4}\right) = 1 $$ **Ответ:** $1$