ГДЗ по алгебре 7 класс Алимов номер - 510

### № 510 **1)** $$ \frac{a+b}{a} - \frac{a}{a-b} - \frac{b^2}{a^2-ab} $$ Разложим знаменатель третьей дроби на множители: $a^2 - ab = a(a - b)$. Общий знаменатель дробей равен $a(a - b)$. Дополнительный множитель для первой дроби равен $(a - b)$, для второй — $a$, для третьей — $1$: $$ \frac{(a+b)(a-b) - a \cdot a - b^2}{a(a-b)} = \frac{a^2 - b^2 - a^2 - b^2}{a(a-b)} = \frac{-2b^2}{a(a-b)} = -\frac{2b^2}{a(a-b)} $$ **Ответ:** $-\frac{2b^2}{a(a-b)}$ (или $\frac{2b^2}{a(b-a)}$) --- **2)** $$ \frac{5b-1}{3b^2-3} + \frac{b+2}{2b+2} - \frac{b+1}{b-1} $$ Разложим знаменатели дробей на множители: - $3b^2 - 3 = 3(b^2 - 1) = 3(b - 1)(b + 1)$ - $2b + 2 = 2(b + 1)$ - $b - 1$ Общий знаменатель равен $6(b - 1)(b + 1) = 6(b^2 - 1)$. Приведем дроби к общему знаменателю: $$ \frac{2(5b-1) + 3(b+2)(b-1) - 6(b+1)(b+1)}{6(b-1)(b+1)} $$ Раскроем скобки в числителе: $$ 2(5b-1) = 10b - 2 $$ $$ 3(b^2 + b - 2) = 3b^2 + 3b - 6 $$ $$ -6(b+1)^2 = -6(b^2 + 2b + 1) = -6b^2 - 12b - 6 $$ Приведем подобные слагаемые в числителе: $$ 10b - 2 + 3b^2 + 3b - 6 - 6b^2 - 12b - 6 = -3b^2 + b - 14 $$ Получаем: $$ \frac{-3b^2 + b - 14}{6(b^2-1)} = -\frac{3b^2 - b + 14}{6(b^2-1)} $$ **Ответ:** $-\frac{3b^2 - b + 14}{6(b^2-1)}$ --- **3)** $$ \frac{6a}{9a^2-1} + \frac{3a+1}{3-9a} + \frac{3a-1}{6a+2} $$ Разложим знаменатели на множители и вынесем знаки: - $9a^2 - 1 = (3a - 1)(3a + 1)$ - $3 - 9a = -3(3a - 1)$ - $6a + 2 = 2(3a + 1)$ Перепишем выражение: $$ \frac{6a}{(3a-1)(3a+1)} - \frac{3a+1}{3(3a-1)} + \frac{3a-1}{2(3a+1)} $$ Общий знаменатель равен $6(3a - 1)(3a + 1)$: $$ \frac{6 \cdot 6a - 2(3a+1)^2 + 3(3a-1)^2}{6(3a-1)(3a+1)} $$ Раскроем скобки в числителе: $$ 36a - 2(9a^2 + 6a + 1) + 3(9a^2 - 6a + 1) = 36a - 18a^2 - 12a - 2 + 27a^2 - 18a + 3 $$ $$ = 9a^2 + 6a + 1 = (3a + 1)^2 $$ Сократим полученную дробь на $(3a + 1)$: $$ \frac{(3a+1)^2}{6(3a-1)(3a+1)} = \frac{3a+1}{6(3a-1)} $$ **Ответ:** $\frac{3a+1}{6(3a-1)}$ --- **4)** $$ \frac{7}{m} - \frac{4}{m-2n} - \frac{m-n}{4n^2-m^2} $$ Учтем, что $4n^2 - m^2 = -(m^2 - 4n^2) = -(m - 2n)(m + 2n)$. Сменив знак перед третьей дробью, получим: $$ \frac{7}{m} - \frac{4}{m-2n} + \frac{m-n}{(m-2n)(m+2n)} $$ Общий знаменатель равен $m(m - 2n)(m + 2n) = m(m^2 - 4n^2)$: $$ \frac{7(m^2-4n^2) - 4m(m+2n) + m(m-n)}{m(m^2-4n^2)} $$ Раскроем скобки в числителе: $$ 7m^2 - 28n^2 - 4m^2 - 8mn + m^2 - mn = 4m^2 - 9mn - 28n^2 $$ **Ответ:** $\frac{4m^2 - 9mn - 28n^2}{m(m^2-4n^2)}$ --- **5)** $$ x - \frac{xy}{x+y} - \frac{x^3}{x^2-y^2} $$ Общий знаменатель равен $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$: $$ \frac{x(x^2-y^2) - xy(x-y) - x^3}{x^2-y^2} $$ Раскроем скобки в числителе: $$ x^3 - xy^2 - x^2y + xy^2 - x^3 = -x^2y $$ Получаем: $$ \frac{-x^2y}{x^2-y^2} = -\frac{x^2y}{x^2-y^2} = \frac{x^2y}{y^2-x^2} $$ **Ответ:** $-\frac{x^2y}{x^2-y^2}$ --- **6)** $$ a - 2 + \frac{4a}{2+a} - \frac{a^3+b}{a^2+2a} $$ Разложим знаменатель последней дроби: $a^2 + 2a = a(a + 2)$. Общий знаменатель равен $a(a + 2)$: $$ \frac{(a-2) \cdot a(a+2) + 4a \cdot a - (a^3+b)}{a(a+2)} $$ Раскроем скобки в числителе: $$ a(a^2 - 4) + 4a^2 - a^3 - b = a^3 - 4a + 4a^2 - a^3 - b = 4a^2 - 4a - b $$ **Ответ:** $\frac{4a^2 - 4a - b}{a(a+2)}$ --- ### Проверь себя! **1. Найти допустимые значения букв, входящих в дробь:** Дробь имеет смысл, если её знаменатель не равен нулю. - Для дроби $\frac{a}{b}$: $b \neq 0$, переменная $a$ — любое число. - Для дроби $\frac{3}{a-1}$: $a - 1 \neq 0 \Rightarrow a \neq 1$. - Для дроби $\frac{a}{b+2}$: $b + 2 \neq 0 \Rightarrow b \neq -2$, переменная $a$ — любое число. **Ответ:** $\frac{a}{b}$ при $b \neq 0$; $\frac{3}{a-1}$ при $a \neq 1$; $\frac{a}{b+2}$ при $b \neq -2$. --- **2. Выполнить действия:** В учебнике задание состоит из отдельных пунктов: а) $$ 4a + \frac{1-4a^2}{a} = \frac{4a^2 + 1 - 4a^2}{a} = \frac{1}{a} $$ б) $$ \frac{a+b}{a-b} - \frac{a-b}{a+b} = \frac{(a+b)^2 - (a-b)^2}{(a-b)(a+b)} = \frac{(a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2)}{a^2 - b^2} = \frac{4ab}{a^2 - b^2} $$ *(Если пункты а и б записаны единым выражением $4a + \frac{1-4a^2}{a} + \frac{a+b}{a-b} - \frac{a-b}{a+b}$, то результат равен $\frac{1}{a} + \frac{4ab}{a^2-b^2} = \frac{a^2-b^2+4a^2b}{a(a^2-b^2)}$.)* в) $$ \frac{2a-4}{3b} \cdot \frac{6b}{a-2} = \frac{2(a-2) \cdot 6b}{3b \cdot (a-2)} = \frac{12}{3} = 4 $$ г) $$ \frac{a^2-b^2}{b^2} : \frac{a+b}{b} = \frac{(a-b)(a+b)}{b^2} \cdot \frac{b}{a+b} = \frac{a-b}{b} $$ **Ответ:** а) $\frac{1}{a}$; б) $\frac{4ab}{a^2-b^2}$; в) $4$; г) $\frac{a-b}{b}$. --- **3. Упростить выражение $\frac{1+2x}{x-3} - \frac{x^2+3x}{5} \cdot \frac{10}{x^2-9}$ и найти его числовое значение при $x = 2\frac{2}{3}$:** 1) Выполним умножение дробей: $$ \frac{x^2+3x}{5} \cdot \frac{10}{x^2-9} = \frac{x(x+3) \cdot 10}{5 \cdot (x-3)(x+3)} = \frac{2x}{x-3} $$ 2) Выполним вычитание: $$ \frac{1+2x}{x-3} - \frac{2x}{x-3} = \frac{1+2x-2x}{x-3} = \frac{1}{x-3} $$ 3) Найдем значение при $x = 2\frac{2}{3} = \frac{8}{3}$: $$ \frac{1}{\frac{8}{3} - 3} = \frac{1}{\frac{8-9}{3}} = \frac{1}{-\frac{1}{3}} = -3 $$ **Ответ:** $\frac{1}{x-3}$; при $x = 2\frac{2}{3}$ значение выражения равно $-3$.