ГДЗ по алгебре 7 класс Алимов номер - 494

1) Докажем тождество: $$ \frac{a^{2n} - b^{2n}}{a^{2n} + b^{2n}} \cdot \frac{a^{4n} - b^{4n}}{a^{2n} - 2a^n b^n + b^{2n}} = (a^n + b^n)^2 $$ Преобразуем левую часть равенства. Разложим числитель второй дроби по формуле разности квадратов: $$ a^{4n} - b^{4n} = (a^{2n})^2 - (b^{2n})^2 = (a^{2n} - b^{2n})(a^{2n} + b^{2n}) $$ Разложим знаменатель второй дроби по формуле квадрата разности: $$ a^{2n} - 2a^n b^n + b^{2n} = (a^n)^2 - 2a^n b^n + (b^n)^2 = (a^n - b^n)^2 $$ Подставим полученные выражения в произведение дробей: $$ \frac{a^{2n} - b^{2n}}{a^{2n} + b^{2n}} \cdot \frac{(a^{2n} - b^{2n})(a^{2n} + b^{2n})}{(a^n - b^n)^2} $$ Сократим дробь на общий множитель $(a^{2n} + b^{2n})$: $$ \frac{(a^{2n} - b^{2n}) \cdot (a^{2n} - b^{2n})}{(a^n - b^n)^2} = \frac{(a^{2n} - b^{2n})^2}{(a^n - b^n)^2} = \left(\frac{a^{2n} - b^{2n}}{a^n - b^n}\right)^2 $$ Применим формулу разности квадратов к выражению $a^{2n} - b^{2n} = (a^n - b^n)(a^n + b^n)$: $$ \left(\frac{(a^n - b^n)(a^n + b^n)}{a^n - b^n}\right)^2 = (a^n + b^n)^2 $$ Получили выражение, совпадающее с правой частью равенства: $$ (a^n + b^n)^2 = (a^n + b^n)^2 $$ Тождество доказано. --- 2) Докажем тождество: $$ \frac{(x^n + y^n)^2}{x^{4n} - y^{4n}} : \frac{x^{2n} - y^{2n}}{x^{2n} + y^{2n}} = \frac{1}{(x^n - y^n)^2} $$ Преобразуем левую часть равенства. Разложим знаменатель первой дроби по формуле разности квадратов: $$ x^{4n} - y^{4n} = (x^{2n})^2 - (y^{2n})^2 = (x^{2n} - y^{2n})(x^{2n} + y^{2n}) $$ Заменим деление на дробь умножением на взаимно обратную дробь: $$ \frac{(x^n + y^n)^2}{(x^{2n} - y^{2n})(x^{2n} + y^{2n})} \cdot \frac{x^{2n} + y^{2n}}{x^{2n} - y^{2n}} $$ Сократим на общий множитель $(x^{2n} + y^{2n})$: $$ \frac{(x^n + y^n)^2}{(x^{2n} - y^{2n}) \cdot (x^{2n} - y^{2n})} = \frac{(x^n + y^n)^2}{(x^{2n} - y^{2n})^2} = \left(\frac{x^n + y^n}{x^{2n} - y^{2n}}\right)^2 $$ Разложим знаменатель внутри скобок по формуле разности квадратов $x^{2n} - y^{2n} = (x^n - y^n)(x^n + y^n)$: $$ \left(\frac{x^n + y^n}{(x^n - y^n)(x^n + y^n)}\right)^2 = \left(\frac{1}{x^n - y^n}\right)^2 = \frac{1}{(x^n - y^n)^2} $$ Получили выражение, совпадающее с правой частью равенства: $$ \frac{1}{(x^n - y^n)^2} = \frac{1}{(x^n - y^n)^2} $$ Тождество доказано.