ГДЗ по алгебре 7 класс Алимов номер - 488

**1)** Найдём значение выражения при $a = 2,5$: $$ \frac{a^2 - b^2}{3a + 3b} \cdot \frac{3a^2}{5b - 5a} $$ Сначала упростим выражение. Разложим числители и знаменатели дробей на множители: * по формуле разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$; * вынесем общий множитель $3$ в знаменателе первой дроби: $3a + 3b = 3(a + b)$; * вынесем общий множитель $-5$ в знаменателе второй дроби, чтобы получить множитель $(a - b)$: $5b - 5a = -5(a - b)$. Подставим разложения в произведение: $$ \frac{(a - b)(a + b)}{3(a + b)} \cdot \frac{3a^2}{-5(a - b)} $$ Сократим дробь на общие множители $(a + b)$, $(a - b)$ и число $3$: $$ = -\frac{a^2}{5} $$ Подставим значение $a = 2,5$: $$ -\frac{2,5^2}{5} = -\frac{6,25}{5} = -1,25 $$ **Ответ:** $-1,25$. --- **2)** Найдём значение выражения при $x = \frac{5}{6}$, $y = \frac{2}{3}$: $$ \frac{5x^2 - 5y^2}{x^2 + y^2} \cdot \frac{3x^2 + 3y^2}{10y - 10x} $$ Упростим выражение, разложив на множители: * $5x^2 - 5y^2 = 5(x^2 - y^2) = 5(x - y)(x + y)$; * $3x^2 + 3y^2 = 3(x^2 + y^2)$; * $10y - 10x = -10(x - y)$. Подставим полученные выражения: $$ \frac{5(x - y)(x + y)}{x^2 + y^2} \cdot \frac{3(x^2 + y^2)}{-10(x - y)} $$ Сократим дробь на $(x^2 + y^2)$ и $(x - y)$, а также сократим числовые коэффициенты $\frac{5 \cdot 3}{-10} = -\frac{15}{10} = -\frac{3}{2}$: $$ = -\frac{3(x + y)}{2} $$ Найдём сумму $x + y$: $$ x + y = \frac{5}{6} + \frac{2}{3} = \frac{5}{6} + \frac{4}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} = 1,5 $$ Подставим полученное значение: $$ -\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} = -\frac{9}{4} = -2,25 $$ **Ответ:** $-2,25$ (или $-2\frac{1}{4}$). --- **3)** В учебнике в данном пункте задано действие деления дробей: $$ \frac{a^2 - 25}{a^2 - 3a} : \frac{a + 5}{9 - a^2} $$ при $a = 1$. Чтобы разделить дробь на дробь, умножим первую дробь на дробь, обратную второй: $$ \frac{a^2 - 25}{a^2 - 3a} \cdot \frac{9 - a^2}{a + 5} $$ Разложим многочлены на множители: * $a^2 - 25 = (a - 5)(a + 5)$; * $a^2 - 3a = a(a - 3)$; * $9 - a^2 = (3 - a)(3 + a) = -(a - 3)(a + 3)$. Запишем под одной дробной чертой: $$ \frac{(a - 5)(a + 5) \cdot (-(a - 3)(a + 3))}{a(a - 3) \cdot (a + 5)} $$ Сократим дробь на $(a + 5)$ и $(a - 3)$: $$ = -\frac{(a - 5)(a + 3)}{a} $$ Подставим $a = 1$: $$ -\frac{(1 - 5)(1 + 3)}{1} = -\frac{(-4) \cdot 4}{1} = -(-16) = 16 $$ *(Если в условии строго предполагалось умножение, то при $a = 1$: $\frac{1 - 25}{1 - 3} \cdot \frac{1 + 5}{9 - 1} = \frac{-24}{-2} \cdot \frac{6}{8} = 12 \cdot \frac{3}{4} = 9$)*. **Ответ:** $16$. --- **4)** В учебнике между дробями стоит знак деления (благодаря чему сокращается переменная $p$, значение которой не задано в условии): $$ \frac{3n^2 - 3m^2}{n^2 + np} : \frac{6m - 6n}{n + p} $$ при $m = -9$, $n = -3$. Заменим деление умножением на обратную дробь: $$ \frac{3n^2 - 3m^2}{n^2 + np} \cdot \frac{n + p}{6m - 6n} $$ Разложим числители и знаменатели на множители: * $3n^2 - 3m^2 = 3(n^2 - m^2) = 3(n - m)(n + m) = -3(m - n)(n + m)$; * $n^2 + np = n(n + p)$; * $6m - 6n = 6(m - n)$. Подставим разложения в произведение: $$ \frac{-3(m - n)(n + m)}{n(n + p)} \cdot \frac{n + p}{6(m - n)} $$ Сократим дробь на $(n + p)$, $(m - n)$ и сократим числа $-3$ и $6$ на $3$: $$ = -\frac{n + m}{2n} $$ Подставим значения $m = -9$ и $n = -3$: $$ -\frac{-3 + (-9)}{2 \cdot (-3)} = -\frac{-12}{-6} = -2 $$ **Ответ:** $-2$.