ГДЗ по алгебре 7 класс Алимов номер - 403

Разложим данное выражение на множители, применив формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$: $$ (7n-2)^2-(2n-7)^2 = ((7n - 2) - (2n - 7))((7n - 2) + (2n - 7)) $$ Раскроем скобки внутри каждого множителя и приведём подобные слагаемые: $$ (7n - 2 - 2n + 7)(7n - 2 + 2n - 7) = (5n + 5)(9n - 9) $$ Вынесем общий множитель $5$ из первой скобки и общий множитель $9$ из второй скобки: $$ 5(n + 1) \cdot 9(n - 1) = 45(n + 1)(n - 1) $$ 1) Докажем, что полученное выражение делится на $5$: Запишем выражение в виде: $$ 5 \cdot (9(n + 1)(n - 1)) $$ Так как $n$ — целое число, то выражение $9(n + 1)(n - 1)$ также является целым числом. Следовательно, произведение содержит целый множитель $5$, а значит, значение выражения делится на $5$ при любом целом $n$. 2) Докажем, что полученное выражение делится на $9$: Запишем выражение в виде: $$ 9 \cdot (5(n + 1)(n - 1)) $$ Так как $n$ — целое число, то выражение $5(n + 1)(n - 1)$ также является целым числом. Следовательно, произведение содержит целый множитель $9$, а значит, значение выражения делится на $9$ при любом целом $n$. Что и требовалось доказать.