ГДЗ по алгебре 7 класс Абылкасымова параграф 7 - 7.16

Задание заключается в доказательстве тождеств с использованием свойств степеней с целым показателем. Для доказательства тождества упростим левую часть (ЛЧ) и правую часть (ПЧ) каждого равенства при допустимых значениях переменных. ### 1) $$ \left( \frac{8x^{-2}}{y^{-3}} \right)^3 \cdot \left( \frac{2^{-4}}{x^{-2}y^2} \right)^3 = 0,125y^3 $$ Преобразуем левую часть. Так как показатели степеней одинаковы, воспользуемся свойством $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$: $$ \text{ЛЧ} = \left( \frac{8x^{-2}}{y^{-3}} \cdot \frac{2^{-4}}{x^{-2}y^2} \right)^3 $$ Перемножим дроби внутри скобок: $$ \frac{8x^{-2} \cdot 2^{-4}}{y^{-3} \cdot x^{-2}y^2} $$ Упростим выражение внутри скобок: * Числовые коэффициенты: $8 \cdot 2^{-4} = 2^3 \cdot 2^{-4} = 2^{3 + (-4)} = 2^{-1} = \frac{1}{2} = 0,5$. * Степени с основанием $x$: $\frac{x^{-2}}{x^{-2}} = 1$. * Степени с основанием $y$: в знаменателе $y^{-3} \cdot y^2 = y^{-3 + 2} = y^{-1}$, тогда $\frac{1}{y^{-1}} = y^1 = y$. Подставим полученные множители обратно в скобки: $$ \text{ЛЧ} = (0,5 \cdot 1 \cdot y)^3 = (0,5y)^3 = 0,5^3 \cdot y^3 = 0,125y^3 $$ Правая часть: $$ \text{ПЧ} = 0,125y^3 $$ $\text{ЛЧ} = \text{ПЧ} = 0,125y^3$. Тождество доказано. --- ### 2) $$ \frac{3^3}{17^0} \cdot \frac{27^{-1}}{a^{-2}} \cdot a^3 = \frac{a^2}{a^{-3}} $$ *(В условии учебника во второй дроби показатель степени равен $-1$: $27^{-1}$, так как $27^{-1} = \frac{1}{27}$).* Преобразуем левую часть: * $17^0 = 1$ (любое ненулевое число в нулевой степени равно $1$). * $3^3 = 27$. * $\frac{27^{-1}}{a^{-2}} = \frac{1}{27 \cdot a^{-2}} = \frac{a^2}{27}$, так как $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Подставим эти значения: $$ \text{ЛЧ} = \frac{27}{1} \cdot \frac{a^2}{27} \cdot a^3 = \frac{27 \cdot a^2 \cdot a^3}{27} = a^{2+3} = a^5 $$ Преобразуем правую часть по правилу деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$: $$ \text{ПЧ} = \frac{a^2}{a^{-3}} = a^{2 - (-3)} = a^{2 + 3} = a^5 $$ $\text{ЛЧ} = \text{ПЧ} = a^5$. Тождество доказано. --- ### 3) $$ \frac{5^3}{19^0} \cdot \frac{75^{-1}}{b^{-2}} \cdot b = \frac{5}{3b^{-3}} $$ *(В условии учебника во второй дроби показатель степени равен $-1$: $75^{-1}$, так как $75^{-1} = \frac{1}{75}$).* Преобразуем левую часть: * $19^0 = 1$. * $5^3 = 125$. * $\frac{75^{-1}}{b^{-2}} = \frac{b^2}{75}$. Подставим эти значения: $$ \text{ЛЧ} = \frac{125}{1} \cdot \frac{b^2}{75} \cdot b = \frac{125 \cdot b^2 \cdot b}{75} = \frac{125}{75} \cdot b^{2+1} $$ Сократим дробь $\frac{125}{75}$ на $25$: $$ \frac{125 : 25}{75 : 25} = \frac{5}{3} $$ Получаем: $$ \text{ЛЧ} = \frac{5}{3}b^3 $$ Преобразуем правую часть, используя свойство $\frac{1}{b^{-n}} = b^n$: $$ \text{ПЧ} = \frac{5}{3b^{-3}} = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{b^{-3}} = \frac{5}{3}b^3 $$ $\text{ЛЧ} = \text{ПЧ} = \frac{5}{3}b^3$. Тождество доказано.