ГДЗ по алгебре 7 класс Абылкасымова повторение курса - 61

**61.** Докажем неравенство: $$ \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \ldots + \frac{1}{2017^2} < \frac{2016}{2017} $$ Для любого натурального числа $n \ge 2$ справедливо неравенство: $$ n^2 > n(n - 1) $$ Отсюда следует, что: $$ \frac{1}{n^2} < \frac{1}{(n - 1)n} $$ Дробь вида $\frac{1}{(n - 1)n}$ можно представить в виде разности двух дробей: $$ \frac{1}{(n - 1)n} = \frac{n - (n - 1)}{(n - 1)n} = \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n} $$ Следовательно, для каждого слагаемого выполняется строгая оценка: $$ \frac{1}{n^2} < \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n} $$ Запишем эти неравенства для каждого слагаемого суммы: при $n = 2$: $$ \frac{1}{2^2} < \frac{1}{1 \cdot 2} = 1 - \frac{1}{2} $$ при $n = 3$: $$ \frac{1}{3^2} < \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} $$ при $n = 4$: $$ \frac{1}{4^2} < \frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} $$ $$ \dots $$ при $n = 2017$: $$ \frac{1}{2017^2} < \frac{1}{2016 \cdot 2017} = \frac{1}{2016} - \frac{1}{2017} $$ Сложим почленно все эти неравенства: $$ \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \ldots + \frac{1}{2017^2} < \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \ldots + \left(\frac{1}{2016} - \frac{1}{2017}\right) $$ В правой части все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются: $$ \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \ldots + \left(\frac{1}{2016} - \frac{1}{2017}\right) = 1 - \frac{1}{2017} = \frac{2017 - 1}{2017} = \frac{2016}{2017} $$ Таким образом, получаем: $$ \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \ldots + \frac{1}{2017^2} < \frac{2016}{2017} $$ Неравенство доказано.