ГДЗ по алгебре 7 класс Абылкасымова повторение курса - 60

Заметим, что каждую дробь вида $\frac{1}{n(n+1)}$ можно представить в виде разности двух дробей: $$ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} $$ Действительно, приведя к общему знаменателю, получаем: $$ \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{n+1 - n}{n(n+1)} = \frac{1}{n(n+1)} $$ Применим это преобразование к каждому слагаемому данной суммы: $$ \frac{1}{1 \cdot 2} = 1 - \frac{1}{2} $$ $$ \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} $$ $$ \frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} $$ $$ \dots $$ $$ \frac{1}{2016 \cdot 2017} = \frac{1}{2016} - \frac{1}{2017} $$ Подставим полученные разности в исходное выражение: $$ \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \ldots + \frac{1}{2016 \cdot 2017} = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \ldots + \left(\frac{1}{2016} - \frac{1}{2017}\right) $$ Раскроем скобки: $$ 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{2016} - \frac{1}{2017} $$ Все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются, остаются только первое и последнее: $$ 1 - \frac{1}{2017} = \frac{2017}{2017} - \frac{1}{2017} = \frac{2016}{2017} $$ Ответ: $\frac{2016}{2017}$