ГДЗ по алгебре 7 класс Абылкасымова повторение курса - 4

1) Представим числа в виде степеней с простыми основаниями $2$ и $11$: $8 = 2^3$, $4 = 2^2$, $121 = 11^2$. Применим свойства степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$: $$ \frac{8^3 \cdot (11^3)^5}{121^7 \cdot 4^{19}} = \frac{(2^3)^3 \cdot 11^{3 \cdot 5}}{(11^2)^7 \cdot (2^2)^{19}} = \frac{2^9 \cdot 11^{15}}{11^{14} \cdot 2^{38}} = \frac{11^{15-14}}{2^{38-9}} = \frac{11^1}{2^{29}} = \frac{11}{2^{29}} $$ Ответ: $\frac{11}{2^{29}}$ (или $11 \cdot 2^{-29}$). --- 2) Представим основания степеней через простые множители $3$ и $13$: $81 = 3^4$, $27 = 3^3$, $169 = 13^2$. Используем свойства степеней: $$ \frac{81^{10} \cdot 169^5}{(13^3)^3 \cdot 27^{13}} = \frac{(3^4)^{10} \cdot (13^2)^5}{13^{3 \cdot 3} \cdot (3^3)^{13}} = \frac{3^{40} \cdot 13^{10}}{13^9 \cdot 3^{39}} = 3^{40-39} \cdot 13^{10-9} = 3^1 \cdot 13^1 = 39 $$ Ответ: $39$. --- 3) Приведем степени к основаниям $7$ и $5$: $49 = 7^2$, $625 = 5^4$. Применяем правила возведения степени в степень и деления степеней: $$ \frac{49^{25} \cdot 625^{15}}{(5^{12})^5 \cdot (7^{16})^3} = \frac{(7^2)^{25} \cdot (5^4)^{15}}{5^{12 \cdot 5} \cdot 7^{16 \cdot 3}} = \frac{7^{50} \cdot 5^{60}}{5^{60} \cdot 7^{48}} = 7^{50-48} \cdot 5^{60-60} = 7^2 \cdot 5^0 = 49 \cdot 1 = 49 $$ Ответ: $49$. --- 4) Представим числа в виде степеней с основаниями $6$ и $5$: $216 = 6^3$, $125 = 5^3$, $625 = 5^4$. Преобразуем выражение с помощью свойств степеней: $$ \frac{216^8 \cdot 125^7}{625^5 \cdot (6^5)^4} = \frac{(6^3)^8 \cdot (5^3)^7}{(5^4)^5 \cdot 6^{5 \cdot 4}} = \frac{6^{24} \cdot 5^{21}}{5^{20} \cdot 6^{20}} = 6^{24-20} \cdot 5^{21-20} = 6^4 \cdot 5^1 = 1296 \cdot 5 = 6480 $$ Ответ: $6480$. --- 5) Представим все множители через степени чисел $2$ и $5$: - $\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$; - $32^2 = (2^5)^2 = 2^{10}$; - $1000 = 10^3 = (2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3$; - $4^7 = (2^2)^7 = 2^{14}$; - $0,001 = \frac{1}{1000} = \frac{1}{2^3 \cdot 5^3}$; - $25^4 = (5^2)^4 = 5^8$. Преобразуем числитель: $$ \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot 32^2 \cdot 1000 \cdot 5^3 = \frac{1}{2^2} \cdot 2^{10} \cdot 2^3 \cdot 5^3 \cdot 5^3 = 2^{10+3-2} \cdot 5^{3+3} = 2^{11} \cdot 5^6 $$ Преобразуем знаменатель: $$ 4^7 \cdot 0,001 \cdot 25^4 = 2^{14} \cdot \frac{1}{2^3 \cdot 5^3} \cdot 5^8 = 2^{14-3} \cdot 5^{8-3} = 2^{11} \cdot 5^5 $$ Находим значение всей дроби: $$ \frac{2^{11} \cdot 5^6}{2^{11} \cdot 5^5} = 2^{11-11} \cdot 5^{6-5} = 2^0 \cdot 5^1 = 1 \cdot 5 = 5 $$ Ответ: $5$. --- 6) Вычислим значения выражений в числителе и знаменателе по действиям: Числитель: 1. $\left(\frac{1}{3}\right)^4 \cdot 9^2 = \frac{1}{3^4} \cdot (3^2)^2 = \frac{3^4}{3^4} = 1$ 2. $\left(\frac{1}{4}\right)^3 \cdot 2^6 = \frac{1}{(2^2)^3} \cdot 2^6 = \frac{2^6}{2^6} = 1$ 3. $1 + 1 = 2$ Знаменатель: 1. $\left(\frac{1}{11}\right)^2 \cdot 363 = \frac{1}{121} \cdot 363 = \frac{363}{121} = 3$ 2. $\left(\frac{1}{12}\right)^2 \cdot 3^2 \cdot 2^4 = \frac{1}{144} \cdot 9 \cdot 16 = \frac{1}{144} \cdot 144 = 1$ 3. $3 - 1 = 2$ Разделим числитель на знаменатель: $$ \frac{2}{2} = 1 $$ Ответ: $1$.