ГДЗ по алгебре 7 класс Абылкасымова повторение курса - 21

1) Преобразуем первое выражение, приведя дроби к общему знаменателю. Знаменатель второй дроби разложим по формуле разности кубов: $$ x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4) $$ Тогда общий знаменатель равен $(x - 2)(x^2 + 2x + 4)$. Дополнительный множитель для первой дроби равен $(x - 2)$, для второй — $1$, для третьей — $(x^2 + 2x + 4)$: $$ \frac{x - 2}{x^2 + 2x + 4} - \frac{6x}{x^3 - 8} + \frac{1}{x - 2} = \frac{(x - 2)^2 - 6x + (x^2 + 2x + 4)}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} $$ Раскроем скобки в числителе: $$ (x - 2)^2 - 6x + x^2 + 2x + 4 = x^2 - 4x + 4 - 6x + x^2 + 2x + 4 $$ Приведем подобные слагаемые в числителе: $$ 2x^2 - 8x + 8 = 2(x^2 - 4x + 4) = 2(x - 2)^2 $$ Подставим полученный числитель обратно в дробь и сократим ее на $(x - 2)$: $$ \frac{2(x - 2)^2}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} = \frac{2(x - 2)}{x^2 + 2x + 4} = \frac{2x - 4}{x^2 + 2x + 4} $$ Полученное выражение совпадает со вторым выражением: $$ \frac{2x - 4}{x^2 + 2x + 4} = \frac{2x - 4}{x^2 + 2x + 4} $$ Тождество доказано. --- 2) Преобразуем первое выражение, приведя дроби к общему знаменателю. Разложим знаменатель первой дроби по формуле разности кубов: $$ a^3 - 1 = (a - 1)(a^2 + a + 1) $$ Общий знаменатель равен $(a - 1)(a^2 + a + 1)$. Дополнительный множитель для первой дроби равен $1$, для второй — $(a - 1)$, для третьей — $(a^2 + a + 1)$: $$ \frac{2a^2 + 7a + 3}{a^3 - 1} - \frac{1 - 2a}{a^2 + a + 1} - \frac{3}{a - 1} = \frac{(2a^2 + 7a + 3) - (1 - 2a)(a - 1) - 3(a^2 + a + 1)}{(a - 1)(a^2 + a + 1)} $$ Раскроем скобки в числителе: $$ (1 - 2a)(a - 1) = a - 1 - 2a^2 + 2a = -2a^2 + 3a - 1 $$ $$ 3(a^2 + a + 1) = 3a^2 + 3a + 3 $$ Подставим эти выражения в числитель: $$ 2a^2 + 7a + 3 - (-2a^2 + 3a - 1) - (3a^2 + 3a + 3) = 2a^2 + 7a + 3 + 2a^2 - 3a + 1 - 3a^2 - 3a - 3 $$ Приведем подобные слагаемые в числителе: $$ (2 + 2 - 3)a^2 + (7 - 3 - 3)a + (3 + 1 - 3) = a^2 + a + 1 $$ Подставим полученный числитель в дробь и сократим ее на $(a^2 + a + 1)$: $$ \frac{a^2 + a + 1}{(a - 1)(a^2 + a + 1)} = \frac{1}{a - 1} $$ Полученное выражение совпадает со вторым выражением: $$ \frac{1}{a - 1} = \frac{1}{a - 1} $$ Тождество доказано.