ГДЗ по алгебре 7 класс Абылкасымова параграф 31 - 31.22

**1)** Решите уравнение: $$ x^4 - 3x^3 - x^2 + 3x = 0 $$ Разложим левую часть уравнения на множители способом группировки: $$ (x^4 - 3x^3) - (x^2 - 3x) = 0 $$ Вынесем общие множители из каждой скобки: $$ x^3(x - 3) - x(x - 3) = 0 $$ Вынесем общий множитель $(x - 3)$: $$ (x - 3)(x^3 - x) = 0 $$ Вынесем $x$ из второй скобки: $$ x(x - 3)(x^2 - 1) = 0 $$ Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$: $$ x(x - 3)(x - 1)(x + 1) = 0 $$ Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: $x = 0$, или $x - 3 = 0 \implies x = 3$, или $x - 1 = 0 \implies x = 1$, или $x + 1 = 0 \implies x = -1$. Ответ: $-1$; $0$; $1$; $3$. --- **2)** Решите уравнение: $$ x^5 - x^4 - x + 1 = 0 $$ Сгруппируем слагаемые: $$ (x^5 - x^4) - (x - 1) = 0 $$ Вынесем общий множитель $x^4$: $$ x^4(x - 1) - (x - 1) = 0 $$ Вынесем общий множитель $(x - 1)$: $$ (x - 1)(x^4 - 1) = 0 $$ Разложим $x^4 - 1$ как разность квадратов: $$ (x - 1)(x^2 - 1)(x^2 + 1) = 0 $$ $$ (x - 1)(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1) = 0 $$ $$ (x - 1)^2(x + 1)(x^2 + 1) = 0 $$ Приравняем множители к нулю: * $(x - 1)^2 = 0 \implies x - 1 = 0 \implies x = 1$; * $x + 1 = 0 \implies x = -1$; * $x^2 + 1 = 0 \implies x^2 = -1$ — действительных корней нет, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Ответ: $-1$; $1$. --- **3)** Решите уравнение: $$ (1 - 3x)^2 = (3x + 5)^2 - 96 $$ Раскроем скобки с помощью формул квадрата разности и квадрата суммы: $$ 1 - 6x + 9x^2 = 9x^2 + 30x + 25 - 96 $$ Приведем подобные слагаемые в правой части: $$ 1 - 6x + 9x^2 = 9x^2 + 30x - 71 $$ Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числа — в правую: $$ 9x^2 - 6x - 9x^2 - 30x = -71 - 1 $$ $$ -36x = -72 $$ $$ x = \frac{-72}{-36} $$ $$ x = 2 $$ Ответ: $2$. --- **4)** Решите уравнение: $$ \left(\frac{1}{2} - 5x\right)^2 + \frac{3}{4} = (5x - 4)^2 $$ Раскроем квадраты двучленов: $$ \left(\frac{1}{2}\right)^2 - 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 5x + (5x)^2 + \frac{3}{4} = (5x)^2 - 2 \cdot 5x \cdot 4 + 4^2 $$ $$ \frac{1}{4} - 5x + 25x^2 + \frac{3}{4} = 25x^2 - 40x + 16 $$ Сложим числовые слагаемые в левой части ($\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$): $$ 1 - 5x + 25x^2 = 25x^2 - 40x + 16 $$ Перенесем слагаемые с переменной в левую часть уравнения, а свободные члены — в правую: $$ 25x^2 - 5x - 25x^2 + 40x = 16 - 1 $$ $$ 35x = 15 $$ $$ x = \frac{15}{35} $$ Сократим дробь на $5$: $$ x = \frac{3}{7} $$ Ответ: $\frac{3}{7}$. --- **5)** Решите уравнение: $$ x(x + 2) - (x + 3)(x - 3) = 13 $$ Раскроем скобки, используя распределительное свойство умножения и формулу разности квадратов $(x + 3)(x - 3) = x^2 - 9$: $$ x^2 + 2x - (x^2 - 9) = 13 $$ $$ x^2 + 2x - x^2 + 9 = 13 $$ Приведем подобные слагаемые: $$ 2x + 9 = 13 $$ $$ 2x = 13 - 9 $$ $$ 2x = 4 $$ $$ x = 2 $$ Ответ: $2$. --- **6)** Решите уравнение: $$ 4x(x - 1) - (2x + 5)(2x - 5) = 1 $$ Раскроем скобки, применяя формулу разности квадратов $(2x + 5)(2x - 5) = (2x)^2 - 5^2 = 4x^2 - 25$: $$ 4x^2 - 4x - (4x^2 - 25) = 1 $$ $$ 4x^2 - 4x - 4x^2 + 25 = 1 $$ Приведем подобные слагаемые: $$ -4x + 25 = 1 $$ $$ -4x = 1 - 25 $$ $$ -4x = -24 $$ $$ x = \frac{-24}{-4} $$ $$ x = 6 $$ Ответ: $6$.