Подробное решение Часть 1 / §4 / упражнение № 4.160 по математике для учащихся 5 класса , авторов Виленкин, Жохов, Чесноков, Александрова, Шварцбурд 2021-2026
Сохраняй ГДЗ в Избранное
Войди через VK — твой список решебников всегда под рукой
Прямоугольный параллелепипед (рис. 4.31) состоит из двух частей.
а) Вычислите объём параллелепипеда и его частей. Равен ли объём параллелепипеда сумме объёмов его частей?
б) Вычислите площадь поверхности параллелепипеда и его частей. Равны ли площади поверхности параллелепипеда и сумма площадей поверхностей его частей? Объясните почему.
ИИ-решебник / Часть 1 / §4 / упражнение / 4.160
Ответ подготовлен нейросетью и может содержать ошибки
Объяснение и пошаговое решение
### Ответ
**а)**
* Объём всего параллелепипеда: **$480\text{ см}^3$**;
* Объём первой части: **$144\text{ см}^3$**;
* Объём второй части: **$336\text{ см}^3$**;
* **Да**, объём параллелепипеда равен сумме объёмов его частей ($144 + 336 = 480\text{ см}^3$).
**б)**
* Площадь поверхности всего параллелепипеда: **$376\text{ см}^2$**;
* Площадь поверхности первой части: **$180\text{ см}^2$**;
* Площадь поверхности второй части: **$292\text{ см}^2$**;
* **Нет**, площадь поверхности параллелепипеда не равна сумме площадей поверхностей его частей ($376\text{ см}^2 \neq 472\text{ см}^2$).
* **Объяснение:** При разделении параллелепипеда на части образуются две новые внутренние грани (поверхности разреза), которые добавляются к площади поверхностей частей, но отсутствовали на внешней поверхности исходной фигуры.
---
### Решение и объяснение
По рисунку определим измерения параллелепипеда и двух его частей:
* **Первая часть:** длина $a_1 = 3\text{ см}$, ширина $b = 6\text{ см}$, высота $c = 8\text{ см}$.
* **Вторая часть:** длина $a_2 = 7\text{ см}$, ширина $b = 6\text{ см}$, высота $c = 8\text{ см}$.
* **Весь параллелепипед:** длина $a = 3 + 7 = 10\text{ см}$, ширина $b = 6\text{ см}$, высота $c = 8\text{ см}$.
---
#### а) Вычисление объёмов
Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:
$$V = a \cdot b \cdot c$$
1. **Объём первой части ($V_1$):**
$$V_1 = 3 \cdot 6 \cdot 8 = 144\text{ см}^3$$
2. **Объём второй части ($V_2$):**
$$V_2 = 7 \cdot 6 \cdot 8 = 336\text{ см}^3$$
3. **Объём всего параллелепипеда ($V$):**
$$V = 10 \cdot 6 \cdot 8 = 480\text{ см}^3$$
4. **Проверим равенство:**
$$V_1 + V_2 = 144 + 336 = 480\text{ см}^3$$
$$480\text{ см}^3 = 480\text{ см}^3$$
Объём целого тела всегда равен сумме объёмов частей, из которых оно составлено.
---
#### б) Вычисление площадей поверхностей
Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна сумме площадей всех его шести граней и находится по формуле:
$$S = 2 \cdot (a \cdot b + b \cdot c + a \cdot c)$$
1. **Площадь поверхности первой части ($S_1$):**
$$S_1 = 2 \cdot (3 \cdot 6 + 6 \cdot 8 + 3 \cdot 8) = 2 \cdot (18 + 48 + 24) = 2 \cdot 90 = 180\text{ см}^2$$
2. **Площадь поверхности второй части ($S_2$):**
$$S_2 = 2 \cdot (7 \cdot 6 + 6 \cdot 8 + 7 \cdot 8) = 2 \cdot (42 + 48 + 56) = 2 \cdot 146 = 292\text{ см}^2$$
3. **Площадь поверхности всего параллелепипеда ($S$):**
$$S = 2 \cdot (10 \cdot 6 + 6 \cdot 8 + 10 \cdot 8) = 2 \cdot (60 + 48 + 80) = 2 \cdot 188 = 376\text{ см}^2$$
4. **Сравним площади:**
* Сумма площадей поверхностей частей:
$$S_1 + S_2 = 180 + 292 = 472\text{ см}^2$$
* Площадь поверхности целого параллелепипеда:
$$S = 376\text{ см}^2$$
$$376\text{ см}^2 \neq 472\text{ см}^2$$
**Почему площади не равны?**
Когда фигуру разрезают на две части, открываются две новые прямоугольные грани со сторонами $6\text{ см}$ и $8\text{ см}$ (площадь каждой $6 \cdot 8 = 48\text{ см}^2$). Эти грани входят в площадь поверхностей двух полученных частей, но были скрыты внутри исходного параллелепипеда. Поэтому сумма площадей частей больше площади исходного параллелепипеда ровно на площадь двух разрезов: $2 \cdot 48 = 96\text{ см}^2$ ($376 + 96 = 472\text{ см}^2$).
ИИ-решебник / Часть 1 / §4 / упражнение / 4.160
