ГДЗ по математике 5 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 1050

Пусть среди семи гномов есть гном самого высокого роста (если самых высоких несколько, выберем любого из них). Обозначим его рост буквой $M$. Так как $M$ — наибольший рост среди всех гномов, то рост любого другого гнома не превышает $M$. Пусть соседи этого самого высокого гнома имеют рост $a$ и $b$. По условию задачи рост гнома равен среднему арифметическому роста двух его соседей: $$ M = \frac{a + b}{2} $$ Умножим обе части равенства на $2$: $$ a + b = 2M $$ Так как никто из гномов не может быть выше $M$, выполняются неравенства: $a \le M$ и $b \le M$. Если бы хотя бы один из соседей был ниже $M$ (например, $a < M$), то сумма их роста была бы строго меньше $2M$: $$ a + b < M + M = 2M $$ Это противоречит равенству $a + b = 2M$. Значит, ни один из соседей не может быть ниже $M$, то есть: $$ a = M \quad \text{и} \quad b = M $$ Таким образом, оба соседа самого высокого гнома имеют точно такой же рост $M$. Рассуждая аналогично для каждого из этих соседей, получаем, что и их соседи имеют рост $M$. Продолжая обходить круг от гнома к гному, получаем, что все семь гномов имеют рост $M$. Следовательно, все гномы были одного роста, что и требовалось доказать.