### Итоговый ответ
**1. Доказательство:**
Слова в каждой строчке являются однокоренными, потому что они имеют общую часть (корень) и близки по смыслу:
* *боль, болит, больница* — связаны со значением «ощущение боли»;
* *свист, свисток, свистеть* — связаны со звуком свиста;
* *старый, старик, старуха* — связаны с пожилым возрастом;
* *ночь, ночной, ночевать* — связаны со временем суток (ночью);
* *зелень, зелёный, зеленеть* — связаны с зелёным цветом;
* *звон, звонить, звонок* — связаны со звуком звона.
---
**2. Пропущенные буквы:**
1. б**о**ли́т, б**о**льни́ца — пропущена буква **о** (проверочное слово: *бо́ль*).
2. св**и**сто́к, св**и**сте́ть — пропущена буква **и** (проверочное слово: *сви́ст*).
3. ст**а**ри́к, ст**а**ру́ха — пропущена буква **а** (проверочное слово: *ста́рый*).
4. н**о**чно́й, н**о**чева́ть — пропущена буква **о** (проверочное слово: *но́чь*).
5. з**е**лёный, з**е**лене́ть — пропущена буква **е** (проверочное слово: *зе́лень*).
6. зв**о**ни́ть, зв**о**но́к — пропущена буква **о** (проверочное слово: *зво́н*).
---
**3. Списывание текста с выделением корня:**
1. **Боль**, **бол**и́т, **боль**ни́ца. *(корень: **бол-** / **боль-**)*
2. **Свист**, **свист**о́к, **свист**е́ть. *(корень: **свист-**)*
3. **Стар**ый, **стар**и́к, **стар**у́ха. *(корень: **стар-**)*
4. **Ночь**, **ноч**но́й, **ноч**ева́ть. *(корень: **ноч-** / **ночь**)*
5. **Зелень**, **зелён**ый, **зелен**е́ть. *(корень: **зелен-**)*
6. **Звон**, **звон**и́ть, **звон**о́к. *(корень: **звон-**)*
*(В тетради над корнем в выбранной группе слов ставится дуга — знак корня: $\overbrace{\phantom{а}}$)*
---
**4. Вывод:**
Корень в однокоренных словах пишется **одинаково**.
---
### Объяснение
1. **Однокоренные (родственные) слова** — это слова, которые объединяет общий смысл и одинаковый корень.
2. Гласная в корне слова может быть **ударной** (звучит чётко) или **безударной** (в ней можно сделать ошибку).
3. Чтобы правильно написать безударную гласную в корне, нужно подобрать такое проверочное однокоренное слово, где эта гласная стоит под ударением:
* *б**о**ли́т* $\rightarrow$ *б**о́**ль*;
* *св**и**сто́к* $\rightarrow$ *св**и́**ст*.
4. Главное правило: **корень в однокоренных словах всегда пишется одинаково**, независимо от того, падает на него ударение или нет.