ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 9 - 29

**а)** $\sqrt{x+2}+\sqrt{x-2}=\sqrt{2x}$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ) уравнения: $$ \begin{cases} x + 2 \ge 0, \\ x - 2 \ge 0, \\ 2x \ge 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \ge -2, \\ x \ge 2, \\ x \ge 0 \end{cases} \iff x \ge 2 $$ Обе части уравнения неотрицательны на ОДЗ, возведем их в квадрат: $$ (\sqrt{x+2}+\sqrt{x-2})^2 = (\sqrt{2x})^2 $$ $$ (x+2) + 2\sqrt{(x+2)(x-2)} + (x-2) = 2x $$ $$ 2x + 2\sqrt{x^2-4} = 2x $$ Перенесем слагаемое $2x$ в правую часть: $$ 2\sqrt{x^2-4} = 0 $$ $$ \sqrt{x^2-4} = 0 $$ $$ x^2 - 4 = 0 $$ $$ (x - 2)(x + 2) = 0 \implies x_1 = 2, \quad x_2 = -2 $$ С учетом ОДЗ ($x \ge 2$): * $x = -2$ — посторонний корень (не удовлетворяет ОДЗ); * $x = 2$ — корень уравнения. Ответ: $2$. --- **б)** $\sqrt{x+3}+\sqrt{x-2}=\sqrt{2x+1}$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ) уравнения: $$ \begin{cases} x + 3 \ge 0, \\ x - 2 \ge 0, \\ 2x + 1 \ge 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \ge -3, \\ x \ge 2, \\ x \ge -0{,}5 \end{cases} \iff x \ge 2 $$ Так как обе части уравнения неотрицательны, возведем их в квадрат: $$ (\sqrt{x+3}+\sqrt{x-2})^2 = (\sqrt{2x+1})^2 $$ $$ (x+3) + 2\sqrt{(x+3)(x-2)} + (x-2) = 2x + 1 $$ $$ 2x + 1 + 2\sqrt{x^2+x-6} = 2x + 1 $$ Перенесем слагаемые без корня в правую часть: $$ 2\sqrt{x^2+x-6} = 0 $$ $$ x^2 + x - 6 = 0 $$ По теореме Виета: $$ x_1 = 2, \quad x_2 = -3 $$ С учетом ОДЗ ($x \ge 2$): * $x = -3$ — посторонний корень; * $x = 2$ — корень уравнения. Ответ: $2$. --- **в)** $\sqrt{x+3}+\sqrt{x-3}=\sqrt{2x}$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ) уравнения: $$ \begin{cases} x + 3 \ge 0, \\ x - 3 \ge 0, \\ 2x \ge 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \ge -3, \\ x \ge 3, \\ x \ge 0 \end{cases} \iff x \ge 3 $$ Обе части уравнения неотрицательны, возведем их в квадрат: $$ (\sqrt{x+3}+\sqrt{x-3})^2 = (\sqrt{2x})^2 $$ $$ (x+3) + 2\sqrt{(x+3)(x-3)} + (x-3) = 2x $$ $$ 2x + 2\sqrt{x^2-9} = 2x $$ Перенесем слагаемое $2x$ в правую часть: $$ 2\sqrt{x^2-9} = 0 $$ $$ x^2 - 9 = 0 $$ $$ (x - 3)(x + 3) = 0 \implies x_1 = 3, \quad x_2 = -3 $$ С учетом ОДЗ ($x \ge 3$): * $x = -3$ — посторонний корень; * $x = 3$ — корень уравнения. Ответ: $3$. --- **г)** $\sqrt{x+2}+\sqrt{x-3}=\sqrt{2x-1}$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ) уравнения: $$ \begin{cases} x + 2 \ge 0, \\ x - 3 \ge 0, \\ 2x - 1 \ge 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \ge -2, \\ x \ge 3, \\ x \ge 0{,}5 \end{cases} \iff x \ge 3 $$ Возведем обе части уравнения в квадрат: $$ (\sqrt{x+2}+\sqrt{x-3})^2 = (\sqrt{2x-1})^2 $$ $$ (x+2) + 2\sqrt{(x+2)(x-3)} + (x-3) = 2x - 1 $$ $$ 2x - 1 + 2\sqrt{x^2-x-6} = 2x - 1 $$ Перенесем слагаемые без корня в правую часть: $$ 2\sqrt{x^2-x-6} = 0 $$ $$ x^2 - x - 6 = 0 $$ По теореме Виета: $$ x_1 = 3, \quad x_2 = -2 $$ С учетом ОДЗ ($x \ge 3$): * $x = -2$ — посторонний корень; * $x = 3$ — корень уравнения. Ответ: $3$.