ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 9 - 28

Уравнение вида $|f(x)| = g(x)$ равносильно совокупности двух уравнений $f(x) = g(x)$ и $f(x) = -g(x)$ при условии, что правая часть неотрицательна, то есть $g(x) \ge 0$. ### a) $\left| x^2 - 4x + 2 \right| = -x^2 + 6x - 6$ Уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} -x^2 + 6x - 6 \ge 0 \\ \left[ \begin{aligned} x^2 - 4x + 2 &= -x^2 + 6x - 6 \\ x^2 - 4x + 2 &= -(-x^2 + 6x - 6) \end{aligned} \right. \end{cases} $$ Решим первое уравнение совокупности: $$ x^2 - 4x + 2 = -x^2 + 6x - 6 $$ $$ 2x^2 - 10x + 8 = 0 $$ $$ x^2 - 5x + 4 = 0 $$ По теореме Виета: $x_1 = 1$, $x_2 = 4$. Решим второе уравнение совокупности: $$ x^2 - 4x + 2 = x^2 - 6x + 6 $$ $$ -4x + 2 = -6x + 6 $$ $$ 2x = 4 \implies x_3 = 2 $$ Проверим условие $-x^2 + 6x - 6 \ge 0$ для найденных корней: * При $x = 1$: $-1^2 + 6 \cdot 1 - 6 = -1 < 0$ — корень не подходит. * При $x = 4$: $-4^2 + 6 \cdot 4 - 6 = -16 + 24 - 6 = 2 \ge 0$ — корень подходит. * При $x = 2$: $-2^2 + 6 \cdot 2 - 6 = -4 + 12 - 6 = 2 \ge 0$ — корень подходит. **Ответ:** $2$; $4$. --- ### b) $\left| x^2 - 2x - 1 \right| = -x^2 + 4x - 1$ Уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} -x^2 + 4x - 1 \ge 0 \\ \left[ \begin{aligned} x^2 - 2x - 1 &= -x^2 + 4x - 1 \\ x^2 - 2x - 1 &= -(-x^2 + 4x - 1) \end{aligned} \right. \end{cases} $$ Решим первое уравнение совокупности: $$ x^2 - 2x - 1 = -x^2 + 4x - 1 $$ $$ 2x^2 - 6x = 0 $$ $$ 2x(x - 3) = 0 $$ $$ x_1 = 0, \quad x_2 = 3 $$ Решим второе уравнение совокупности: $$ x^2 - 2x - 1 = x^2 - 4x + 1 $$ $$ -2x - 1 = -4x + 1 $$ $$ 2x = 2 \implies x_3 = 1 $$ Проверим условие $-x^2 + 4x - 1 \ge 0$ для найденных корней: * При $x = 0$: $-0^2 + 4 \cdot 0 - 1 = -1 < 0$ — корень не подходит. * При $x = 3$: $-3^2 + 4 \cdot 3 - 1 = -9 + 12 - 1 = 2 \ge 0$ — корень подходит. * При $x = 1$: $-1^2 + 4 \cdot 1 - 1 = -1 + 4 - 1 = 2 \ge 0$ — корень подходит. **Ответ:** $1$; $3$. --- ### c) $\left| x^2 - 2x - 8 \right| = x^2 + 2x - 10$ Уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} x^2 + 2x - 10 \ge 0 \\ \left[ \begin{aligned} x^2 - 2x - 8 &= x^2 + 2x - 10 \\ x^2 - 2x - 8 &= -(x^2 + 2x - 10) \end{aligned} \right. \end{cases} $$ Решим первое уравнение совокупности: $$ x^2 - 2x - 8 = x^2 + 2x - 10 $$ $$ -2x - 8 = 2x - 10 $$ $$ -4x = -2 \implies x_1 = 0{,}5 $$ Решим второе уравнение совокупности: $$ x^2 - 2x - 8 = -x^2 - 2x + 10 $$ $$ 2x^2 - 18 = 0 $$ $$ x^2 = 9 \implies x_2 = 3, \quad x_3 = -3 $$ Проверим условие $x^2 + 2x - 10 \ge 0$ для каждого корня: * При $x = 0{,}5$: $0{,}5^2 + 2 \cdot 0{,}5 - 10 = 0{,}25 + 1 - 10 = -8{,}75 < 0$ — корень не подходит. * При $x = -3$: $(-3)^2 + 2 \cdot (-3) - 10 = 9 - 6 - 10 = -7 < 0$ — корень не подходит. * При $x = 3$: $3^2 + 2 \cdot 3 - 10 = 9 + 6 - 10 = 5 \ge 0$ — корень подходит. **Ответ:** $3$. --- ### d) $\left| x^2 - 3x - 1 \right| = x^2 + 3x - 7$ Уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} x^2 + 3x - 7 \ge 0 \\ \left[ \begin{aligned} x^2 - 3x - 1 &= x^2 + 3x - 7 \\ x^2 - 3x - 1 &= -(x^2 + 3x - 7) \end{aligned} \right. \end{cases} $$ Решим первое уравнение совокупности: $$ x^2 - 3x - 1 = x^2 + 3x - 7 $$ $$ -3x - 1 = 3x - 7 $$ $$ -6x = -6 \implies x_1 = 1 $$ Решим второе уравнение совокупности: $$ x^2 - 3x - 1 = -x^2 - 3x + 7 $$ $$ 2x^2 - 8 = 0 $$ $$ x^2 = 4 \implies x_2 = 2, \quad x_3 = -2 $$ Проверим условие $x^2 + 3x - 7 \ge 0$ для каждого корня: * При $x = 1$: $1^2 + 3 \cdot 1 - 7 = 1 + 3 - 7 = -3 < 0$ — корень не подходит. * При $x = -2$: $(-2)^2 + 3 \cdot (-2) - 7 = 4 - 6 - 7 = -9 < 0$ — корень не подходит. * При $x = 2$: $2^2 + 3 \cdot 2 - 7 = 4 + 6 - 7 = 3 \ge 0$ — корень подходит. **Ответ:** $2$.