ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 8 - 18

**8.18\*** **а)** $\log_2(4^x - 2^{x+1} + 2) = x$ По определению логарифма данное уравнение равносильно уравнению: $$ 4^x - 2^{x+1} + 2 = 2^x $$ Так как $2^x > 0$ при любых действительных $x$, подлогарифмическое выражение положительно, и область допустимых значений соблюдается автоматически. Преобразуем степени: $4^x = (2^x)^2$ и $2^{x+1} = 2 \cdot 2^x$. Получаем: $$ (2^x)^2 - 2 \cdot 2^x + 2 = 2^x $$ $$ (2^x)^2 - 3 \cdot 2^x + 2 = 0 $$ Сделаем замену переменной: пусть $t = 2^x$, где $t > 0$. $$ t^2 - 3t + 2 = 0 $$ По теореме Виета находим корни квадратного уравнения: $$ t_1 = 1, \quad t_2 = 2 $$ Оба значения удовлетворяют условию $t > 0$. Вернёмся к переменной $x$: 1) $2^x = 1 \implies 2^x = 2^0 \implies x = 0$; 2) $2^x = 2 \implies 2^x = 2^1 \implies x = 1$. Ответ: $0$; $1$. --- **б)** $\log_3(9^x - 3^{x+1} + 3) = x$ По определению логарифма: $$ 9^x - 3^{x+1} + 3 = 3^x $$ Так как $3^x > 0$, подлогарифмическое выражение строго больше нуля. Преобразуем степени с основанием $3$: $9^x = (3^x)^2$ и $3^{x+1} = 3 \cdot 3^x$. $$ (3^x)^2 - 3 \cdot 3^x + 3 = 3^x $$ $$ (3^x)^2 - 4 \cdot 3^x + 3 = 0 $$ Пусть $t = 3^x$, причём $t > 0$. Получаем уравнение: $$ t^2 - 4t + 3 = 0 $$ По теореме Виета: $$ t_1 = 1, \quad t_2 = 3 $$ Оба корня положительны. Выполним обратную замену: 1) $3^x = 1 \implies 3^x = 3^0 \implies x = 0$; 2) $3^x = 3 \implies 3^x = 3^1 \implies x = 1$. Ответ: $0$; $1$. --- **в)** $\log_2(4^x + 2^{x+1} - 8) = x + 2$ По определению логарифма: $$ 4^x + 2^{x+1} - 8 = 2^{x+2} $$ Так как $2^{x+2} > 0$, условие существования логарифма выполняется. Запишем степени через степени двойки: $4^x = (2^x)^2$, $2^{x+1} = 2 \cdot 2^x$ и $2^{x+2} = 2^2 \cdot 2^x = 4 \cdot 2^x$. $$ (2^x)^2 + 2 \cdot 2^x - 8 = 4 \cdot 2^x $$ $$ (2^x)^2 - 2 \cdot 2^x - 8 = 0 $$ Введём замену $t = 2^x$, где $t > 0$: $$ t^2 - 2t - 8 = 0 $$ По теореме Виета: $$ t_1 = 4, \quad t_2 = -2 $$ Корень $t_2 = -2$ не удовлетворяет условию $t > 0$. Возвращаемся к замене для $t_1 = 4$: $$ 2^x = 4 \implies 2^x = 2^2 \implies x = 2 $$ Ответ: $2$. --- **г)** $\log_5(25^x + 5^x - 5) = x + 1$ По определению логарифма: $$ 25^x + 5^x - 5 = 5^{x+1} $$ Поскольку $5^{x+1} > 0$, выражение под знаком логарифма положительно. Представим слагаемые через основание $5$: $25^x = (5^x)^2$ и $5^{x+1} = 5 \cdot 5^x$. $$ (5^x)^2 + 5^x - 5 = 5 \cdot 5^x $$ $$ (5^x)^2 - 4 \cdot 5^x - 5 = 0 $$ Пусть $t = 5^x$, где $t > 0$: $$ t^2 - 4t - 5 = 0 $$ Корни уравнения по теореме Виета: $$ t_1 = 5, \quad t_2 = -1 $$ Корень $t_2 = -1$ не подходит, так как $t > 0$. Выполним обратную замену: $$ 5^x = 5 \implies 5^x = 5^1 \implies x = 1 $$ Ответ: $1$.