ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 8 - 16

### 8.16* Для решения уравнений воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма: $$ \frac{\log_c b}{\log_c a} = \log_a b $$ --- **а)** $$ \log_{11}\left(\frac{x+20}{x}\right) = \frac{\log_{2}41}{\log_{2}11} $$ 1. Применим формулу перехода к новому основанию к правой части уравнения: $$ \frac{\log_{2}41}{\log_{2}11} = \log_{11}41 $$ 2. Получаем уравнение: $$ \log_{11}\left(\frac{x+20}{x}\right) = \log_{11}41 $$ 3. Область допустимых значений (ОДЗ): $$ \frac{x+20}{x} > 0 $$ 4. Потенцируя обе части уравнения, получаем: $$ \frac{x+20}{x} = 41 $$ $$ x + 20 = 41x $$ $$ 41x - x = 20 $$ $$ 40x = 20 $$ $$ x = \frac{20}{40} = 0{,}5 $$ 5. Проверка ОДЗ: при $x = 0{,}5$ имеем $\frac{0{,}5+20}{0{,}5} = 41 > 0$, условие выполняется. Ответ: $0{,}5$. --- **б)** $$ \log_{13}\left(\frac{x+11}{x}\right) = \frac{\log_{3}23}{\log_{3}13} $$ 1. Преобразуем правую часть уравнения по формуле перехода к новому основанию: $$ \frac{\log_{3}23}{\log_{3}13} = \log_{13}23 $$ 2. Уравнение принимает вид: $$ \log_{13}\left(\frac{x+11}{x}\right) = \log_{13}23 $$ 3. ОДЗ: $$ \frac{x+11}{x} > 0 $$ 4. Приравниваем выражения, стоящие под знаком логарифма: $$ \frac{x+11}{x} = 23 $$ $$ x + 11 = 23x $$ $$ 22x = 11 $$ $$ x = \frac{11}{22} = 0{,}5 $$ 5. Проверка ОДЗ: при $x = 0{,}5$ выражение $\frac{0{,}5+11}{0{,}5} = 23 > 0$, корень подходит. Ответ: $0{,}5$. --- **в)** $$ \log_{5}\left(\frac{x+10}{x}\right) = \frac{\log_{11}21}{\log_{11}5} $$ 1. Преобразуем правую часть уравнения: $$ \frac{\log_{11}21}{\log_{11}5} = \log_{5}21 $$ 2. Получаем уравнение: $$ \log_{5}\left(\frac{x+10}{x}\right) = \log_{5}21 $$ 3. ОДЗ: $$ \frac{x+10}{x} > 0 $$ 4. Приравниваем подлогарифмические выражения: $$ \frac{x+10}{x} = 21 $$ $$ x + 10 = 21x $$ $$ 20x = 10 $$ $$ x = \frac{10}{20} = 0{,}5 $$ 5. Проверка ОДЗ: при $x = 0{,}5$ значение $\frac{0{,}5+10}{0{,}5} = 21 > 0$, корень удовлетворяет ОДЗ. Ответ: $0{,}5$. --- **г)** $$ \log_{7}\left(\frac{x+15}{x}\right) = \frac{\log_{13}31}{\log_{13}7} $$ 1. Преобразуем правую часть по формуле перехода к новому основанию: $$ \frac{\log_{13}31}{\log_{13}7} = \log_{7}31 $$ 2. Получаем уравнение: $$ \log_{7}\left(\frac{x+15}{x}\right) = \log_{7}31 $$ 3. ОДЗ: $$ \frac{x+15}{x} > 0 $$ 4. Приравниваем подлогарифмические выражения: $$ \frac{x+15}{x} = 31 $$ $$ x + 15 = 31x $$ $$ 30x = 15 $$ $$ x = \frac{15}{30} = 0{,}5 $$ 5. Проверка ОДЗ: при $x = 0{,}5$ получаем $\frac{0{,}5+15}{0{,}5} = 31 > 0$, условие выполняется. Ответ: $0{,}5$.