ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 6 - 67

**6.67.** **а)** Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \frac{x^2}{2}$, $x = 1$, $x = 3$ и $y = 0$. На отрезке $[1; 3]$ график функции $y = \frac{x^2}{2}$ расположен выше оси абсцисс ($y = 0$). Фигура представляет собой криволинейную трапецию, площадь которой вычисляется с помощью определенного интеграла: $$ S = \int_{1}^{3} \frac{x^2}{2} \, dx $$ Найдем первообразную и применим формулу Ньютона—Лейбница: $$ S = \left. \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{x^3}{3} \right) \right|_{1}^{3} = \left. \frac{x^3}{6} \right|_{1}^{3} = \frac{3^3}{6} - \frac{1^3}{6} = \frac{27}{6} - \frac{1}{6} = \frac{26}{6} = \frac{13}{3} = 4\frac{1}{3} $$ **Ответ к пункту а:** $4\frac{1}{3}$. --- **б)** Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \sqrt{2x}$, $x = 1$ и $y = 0$. Функция $y = \sqrt{2x}$ определена при $x \ge 0$. Найдем точку пересечения графика функции с осью абсцисс ($y = 0$): $$ \sqrt{2x} = 0 \implies x = 0 $$ Таким образом, фигура ограничена линиями на отрезке $[0; 1]$, и на всем этом отрезке $\sqrt{2x} \ge 0$. Вычислим площадь фигуры: $$ S = \int_{0}^{1} \sqrt{2x} \, dx = \sqrt{2} \int_{0}^{1} x^{\frac{1}{2}} \, dx $$ Найдем первообразную и применим формулу Ньютона—Лейбница: $$ S = \left. \left( \sqrt{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} \right) \right|_{0}^{1} = \left. \left( \frac{2\sqrt{2}}{3} x\sqrt{x} \right) \right|_{0}^{1} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot 1\sqrt{1} - \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot 0 = \frac{2\sqrt{2}}{3} $$ **Ответ к пункту б:** $\frac{2\sqrt{2}}{3}$.