ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 6 - 65

Для вычисления определенных интегралов применим формулу Ньютона—Лейбница: $$ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a) $$ где $F(x)$ — первообразная функции $f(x)$. **а)** $\int_{2}^{3} 3x \, dx$ Найдем первообразную подынтегральной функции: $F(x) = 3 \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{3x^2}{2}$. Подставим пределы интегрирования: $$ \int_{2}^{3} 3x \, dx = \left. \frac{3x^2}{2} \right|_{2}^{3} = \frac{3 \cdot 3^2}{2} - \frac{3 \cdot 2^2}{2} = \frac{27}{2} - \frac{12}{2} = \frac{15}{2} = 7{,}5 $$ **Ответ:** $7{,}5$ (или $\frac{15}{2}$). --- **б)** $\int_{-1}^{2} (-2x^4) \, dx$ Найдем первообразную: $F(x) = -2 \cdot \frac{x^5}{5} = -\frac{2x^5}{5}$. Применим формулу Ньютона—Лейбница: $$ \int_{-1}^{2} (-2x^4) \, dx = \left. \left(-\frac{2x^5}{5}\right) \right|_{-1}^{2} = -\frac{2 \cdot 2^5}{5} - \left(-\frac{2 \cdot (-1)^5}{5}\right) $$ $$ = -\frac{64}{5} - \left(\frac{2}{5}\right) = -\frac{66}{5} = -13{,}2 $$ **Ответ:** $-13{,}2$ (или $-\frac{66}{5}$). --- **в)** $\int_{1}^{e} \frac{dx}{2x}$ Вынесем постоянный множитель за знак интеграла и найдем первообразную: $$ \int_{1}^{e} \frac{dx}{2x} = \frac{1}{2} \int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx = \left. \left(\frac{1}{2} \ln|x|\right) \right|_{1}^{e} $$ Подставим пределы интегрирования: $$ \frac{1}{2} \ln e - \frac{1}{2} \ln 1 = \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 0 = \frac{1}{2} = 0{,}5 $$ **Ответ:** $0{,}5$ (или $\frac{1}{2}$).