ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 6 - 53

**а)** Найдем площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y = x^2$, осью абсцисс $y = 0$ и прямыми $x = 3$ и $x = 5$. На отрезке $[3; 5]$ функция $y = x^2$ непрерывна и принимает неотрицательные значения ($x^2 \ge 0$). Следовательно, площадь вычисляется с помощью определенного интеграла по формуле Ньютона — Лейбница: $$ S = \int_{3}^{5} x^2 \, dx $$ Находим первообразную и вычисляем: $$ S = \left. \frac{x^3}{3} \right|_{3}^{5} = \frac{5^3}{3} - \frac{3^3}{3} = \frac{125}{3} - \frac{27}{3} = \frac{98}{3} = 32\frac{2}{3} $$ **Ответ:** $32\frac{2}{3}$. --- **б)** Найдем площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y = \frac{1}{x}$, осью абсцисс $y = 0$ и прямыми $x = 1$ и $x = 4$. На отрезке $[1; 4]$ функция $y = \frac{1}{x}$ непрерывна и положительна ($\frac{1}{x} > 0$). Вычисляем площадь: $$ S = \int_{1}^{4} \frac{1}{x} \, dx $$ Находим первообразную: $$ S = \left. \ln|x| \right|_{1}^{4} = \ln 4 - \ln 1 = \ln 4 - 0 = \ln(2^2) = 2\ln 2 $$ **Ответ:** $\ln 4$ (или $2\ln 2$). --- **в)** Найдем площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y = x^3$, осью абсцисс $y = 0$ и прямыми $x = 1$ и $x = 2$. На отрезке $[1; 2]$ функция $y = x^3$ непрерывна и принимает положительные значения ($x^3 > 0$). Вычисляем площадь: $$ S = \int_{1}^{2} x^3 \, dx $$ Находим первообразную: $$ S = \left. \frac{x^4}{4} \right|_{1}^{2} = \frac{2^4}{4} - \frac{1^4}{4} = \frac{16}{4} - \frac{1}{4} = \frac{15}{4} = 3\frac{3}{4} = 3{,}75 $$ **Ответ:** $3{,}75$ (или $3\frac{3}{4}$).