ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 6 - 52

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке $[a; b]$ функции $y = f(x)$, осью абсцисс $y = 0$ и прямыми $x = a$, $x = b$, вычисляется по формуле Ньютона—Лейбница: $$ S = \int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a) $$ где $F(x)$ — первообразная функции $f(x)$. **а)** Фигура ограничена линиями $y = x^2$, $x = 0$, $x = 2$, $y = 0$. На отрезке $[0; 2]$ функция $f(x) = x^2$ непрерывна и $x^2 \ge 0$. Одной из первообразных является $F(x) = \dfrac{x^3}{3}$. Вычислим площадь фигуры: $$ S = \int_{0}^{2} x^2\,dx = \left. \frac{x^3}{3} \right|_{0}^{2} = \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} $$ **б)** Фигура ограничена линиями $y = \sin x$, $x = 0$, $x = \pi$, $y = 0$. На отрезке $[0; \pi]$ функция $f(x) = \sin x$ непрерывна и $\sin x \ge 0$. Одной из первообразных является $F(x) = -\cos x$. Вычислим площадь фигуры: $$ S = \int_{0}^{\pi} \sin x\,dx = \left. (-\cos x) \right|_{0}^{\pi} = -\cos \pi - (-\cos 0) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2 $$ **в)** Фигура ограничена линиями $y = \cos x$, $x = 0$, $x = \dfrac{\pi}{2}$, $y = 0$. На отрезке $\left[0; \dfrac{\pi}{2}\right]$ функция $f(x) = \cos x$ непрерывна и $\cos x \ge 0$. Одной из первообразных является $F(x) = \sin x$. Вычислим площадь фигуры: $$ S = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x\,dx = \left. \sin x \right|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \sin\frac{\pi}{2} - \sin 0 = 1 - 0 = 1 $$ **Ответ:** а) $2\dfrac{2}{3}$; б) $2$; в) $1$.