ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 5 - 23

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $$ y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) $$ Для функции $f(x) = \cos x$ найдем производную: $$ f'(x) = (\cos x)' = -\sin x $$ --- ### а) $x_0 = 0$ 1. Вычислим значение функции в точке $x_0$: $f(0) = \cos 0 = 1$. 2. Вычислим значение производной в точке $x_0$: $f'(0) = -\sin 0 = 0$. 3. Составим уравнение касательной: $$ y = 1 + 0 \cdot (x - 0) $$ $$ y = 1 $$ **Ответ:** $y = 1$. --- ### б) $x_0 = \frac{\pi}{2}$ 1. Вычислим значение функции в точке $x_0$: $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \cos\frac{\pi}{2} = 0$. 2. Вычислим значение производной в точке $x_0$: $f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\sin\frac{\pi}{2} = -1$. 3. Составим уравнение касательной: $$ y = 0 + (-1)\left(x - \frac{\pi}{2}\right) $$ $$ y = -x + \frac{\pi}{2} $$ **Ответ:** $y = -x + \frac{\pi}{2}$. --- ### в) $x_0 = -\frac{\pi}{2}$ 1. Вычислим значение функции в точке $x_0$: $f\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0$. 2. Вычислим значение производной в точке $x_0$: $f'\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \sin\frac{\pi}{2} = 1$. 3. Составим уравнение касательной: $$ y = 0 + 1 \cdot \left(x - \left(-\frac{\pi}{2}\right)\right) $$ $$ y = x + \frac{\pi}{2} $$ **Ответ:** $y = x + \frac{\pi}{2}$. --- ### г) $x_0 = -\pi$ 1. Вычислим значение функции в точке $x_0$: $f(-\pi) = \cos(-\pi) = -1$. 2. Вычислим значение производной в точке $x_0$: $f'(-\pi) = -\sin(-\pi) = \sin \pi = 0$. 3. Составим уравнение касательной: $$ y = -1 + 0 \cdot (x - (-\pi)) $$ $$ y = -1 $$ **Ответ:** $y = -1$.