ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 5 - 112

Преобразуем формулу функции $f(x)$, выделив целую часть: $$ f(x) = \frac{-3x - 1}{x + 1} = \frac{-3(x + 1) + 2}{x + 1} = -3 + \frac{2}{x + 1} $$ Область определения: $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$. --- ### a) $y = f(x)$ График функции $y = -3 + \frac{2}{x + 1}$ представляет собой гиперболу, полученную из графика базовой функции $y = \frac{2}{x}$ параллельным переносом на $1$ единицу влево вдоль оси $Ox$ и на $3$ единицы вниз вдоль оси $Oy$. 1. **Асимптоты:** - вертикальная: $x = -1$; - горизонтальная: $y = -3$. 2. **Точки пересечения с осями координат:** - с осью $Oy$ ($x = 0$): $$ y = \frac{-3 \cdot 0 - 1}{0 + 1} = -1 \implies (0; -1) $$ - с осью $Ox$ ($y = 0$): $$ -3x - 1 = 0 \implies x = -\frac{1}{3} \implies \left(-\frac{1}{3}; 0\right) $$ 3. **Дополнительные контрольные точки:** - при $x = 1$: $y = -3 + \frac{2}{2} = -2 \implies (1; -2)$; - при $x = -2$: $y = -3 + \frac{2}{-1} = -5 \implies (-2; -5)$; - при $x = -3$: $y = -3 + \frac{2}{-2} = -4 \implies (-3; -4)$. **Построение:** проводим пунктиром прямые $x = -1$ и $y = -3$. Строим две ветви гиперболы, проходящие через найденные точки и приближающиеся к асимптотам. --- ### б) $y = |f(x)|$ Формула функции: $$ y = \left|\frac{-3x - 1}{x + 1}\right| $$ График строится на основе графика $y = f(x)$ с помощью правила геометрического преобразования $y = |f(x)|$: - часть графика, лежащая на оси $Ox$ и выше неё (при $-1 < x \le -\frac{1}{3}$), остаётся без изменений; - часть графика, лежащая строго ниже оси $Ox$ (при $x < -1$ и при $x > -\frac{1}{3}$), зеркально отражается относительно оси $Ox$ вверх. 1. **Асимптоты:** - вертикальная асимптота остаётся прежней: $x = -1$; - горизонтальная асимптота отражается: $y = |-3| = 3$. 2. **Характерные точки:** - точка излома на оси $Ox$: $\left(-\frac{1}{3}; 0\right)$; - точка пересечения с осью $Oy$: $(0; 1)$; - дополнительные точки: $(-3; 4)$, $(-2; 5)$, $(1; 2)$. --- ### в) $y = f(|x|)$ Формула функции: $$ y = \frac{-3|x| - 1}{|x| + 1} = -3 + \frac{2}{|x| + 1} $$ Поскольку $|x| \ge 0$, знаменатель $|x| + 1 \ge 1 \neq 0$ при любом значении $x$, следовательно, область определения — вся числовая прямая: $D(y) = \mathbb{R}$. Функция является чётной: $f(|-x|) = f(|x|)$, её график симметричен относительно оси ординат $Oy$. График строится по правилу $y = f(|x|)$: - при $x \ge 0$ график совпадает с графиком функции $y = f(x)$; - при $x < 0$ график получается зеркальным отражением части для $x \ge 0$ относительно оси $Oy$. 1. **Асимптоты:** - вертикальных асимптот нет (функция непрерывна на всей числовой прямой); - горизонтальная асимптота: $y = -3$ при $x \to \pm\infty$. 2. **Характерные точки:** - вершина (наибольшее значение): при $x = 0$ получаем точку $(0; -1)$; - контрольные точки: $(1; -2)$ и $(-1; -2)$. --- ### г) $y = |f(|x|)|$ Формула функции: $$ y = \left|-3 + \frac{2}{|x| + 1}\right| $$ Заметим, что для любого $x \in \mathbb{R}$: $$ |x| \ge 0 \implies |x| + 1 \ge 1 \implies 0 < \frac{2}{|x| + 1} \le 2 $$ Тогда выражение под знаком модуля всегда строго отрицательно: $$ -3 + \frac{2}{|x| + 1} \le -3 + 2 = -1 < 0 $$ Раскрывая модуль по определению, получаем: $$ y = -\left(-3 + \frac{2}{|x| + 1}\right) = 3 - \frac{2}{|x| + 1} = \frac{3|x| + 1}{|x| + 1} $$ График получается зеркальным отражением графика функции $y = f(|x|)$ относительно оси $Ox$: - область определения: $x \in \mathbb{R}$; - функция чётная (график симметричен относительно оси $Oy$); - наименьшее значение функции достигается в точке $x = 0$: $y = 3 - 2 = 1$, точка $(0; 1)$; - при $x > 0$ график возрастает, приближаясь к горизонтальной асимптоте $y = 3$; - при $x < 0$ график симметричен правой части и также приближается к асимптоте $y = 3$; - контрольные точки: $(1; 2)$ и $(-1; 2)$.