ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 5 - 109

а) $y = \frac{4x + 2}{x - 2}$ Данная функция является дробно-линейной, её графиком является гипербола. 1. **Область определения:** знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$. $$ D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty) $$ 2. **Выделение целой части:** $$ y = \frac{4(x - 2) + 8 + 2}{x - 2} = \frac{4(x - 2) + 10}{x - 2} = 4 + \frac{10}{x - 2} $$ График получается сдвигом гиперболы $y = \frac{10}{x}$ на $2$ единицы вправо вдоль оси $Ox$ и на $4$ единицы вверх вдоль оси $Oy$. 3. **Асимптоты:** - вертикальная асимптота: $x = 2$; - горизонтальная асимптота: $y = 4$. Центр симметрии гиперболы — точка $(2; 4)$. 4. **Точки пересечения с осями координат:** - с осью $Oy$ (при $x = 0$): $$ y = \frac{4 \cdot 0 + 2}{0 - 2} = -1 \implies (0; -1) $$ - с осью $Ox$ (при $y = 0$): $$ 4x + 2 = 0 \implies x = -0,5 \implies (-0,5; 0) $$ 5. **Таблица дополнительных значений:** | $x$ | $-3$ | $0$ | $1$ | $3$ | $4$ | $7$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $2$ | $-1$ | $-6$ | $14$ | $9$ | $6$ | По полученным данным строятся две ветви гиперболы, приближающиеся к прямым $x = 2$ и $y = 4$. --- б) $y = \frac{3x - 2}{2x + 2}$ Данная функция также является дробно-линейной, её графиком является гипербола. 1. **Область определения:** $2x + 2 \neq 0 \implies 2x \neq -2 \implies x \neq -1$. $$ D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty) $$ 2. **Выделение целой части:** $$ y = \frac{3x - 2}{2(x + 1)} = \frac{1,5(2x + 2) - 3 - 2}{2x + 2} = \frac{1,5(2x + 2) - 5}{2x + 2} = 1,5 - \frac{5}{2(x + 1)} = 1,5 - \frac{2,5}{x + 1} $$ График получается сдвигом гиперболы $y = -\frac{2,5}{x}$ на $1$ единицу влево вдоль оси $Ox$ и на $1,5$ единицы вверх вдоль оси $Oy$. 3. **Асимптоты:** - вертикальная асимптота: $x = -1$; - горизонтальная асимптота: $y = 1,5$ (так как отношение коэффициентов при $x$ равно $\frac{3}{2} = 1,5$). Центр симметрии гиперболы — точка $(-1; 1,5)$. 4. **Точки пересечения с осями координат:** - с осью $Oy$ (при $x = 0$): $$ y = \frac{3 \cdot 0 - 2}{2 \cdot 0 + 2} = -1 \implies (0; -1) $$ - с осью $Ox$ (при $y = 0$): $$ 3x - 2 = 0 \implies x = \frac{2}{3} \implies \left(\frac{2}{3}; 0\right) $$ 5. **Таблица дополнительных значений:** | $x$ | $-6$ | $-3,5$ | $-2$ | $0$ | $1$ | $4$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $2$ | $2,5$ | $4$ | $-1$ | $0,25$ | $1$ | По найденным асимптотам $x = -1$, $y = 1,5$ и опорным точкам строятся ветви гиперболы во II и IV координатных четвертях относительно асимптот.