ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 4 - 43

a) $f(x) = 11^x$ Показательная функция $y = a^x$ (где $a > 0$, $a \neq 1$) определена и дифференцируема на всей числовой прямой, то есть при $x \in (-\infty; +\infty)$. По формуле производной показательной функции $(a^x)' = a^x \ln a$: $$ f'(x) = (11^x)' = 11^x \ln 11 $$ **Ответ:** функция имеет производную при $x \in (-\infty; +\infty)$; $f'(x) = 11^x \ln 11$. --- b) $f(x) = 10^x$ Функция определена и имеет производную при всех $x \in (-\infty; +\infty)$. Используя формулу $(a^x)' = a^x \ln a$, получаем: $$ f'(x) = (10^x)' = 10^x \ln 10 $$ **Ответ:** функция имеет производную при $x \in (-\infty; +\infty)$; $f'(x) = 10^x \ln 10$. --- г) $f(x) = 3^x + 9^x - 27^x$ Функция представляет собой сумму и разность показательных функций, каждая из которых дифференцируема при всех действительных $x$. Следовательно, функция $f(x)$ имеет производную при $x \in (-\infty; +\infty)$. Используя правила дифференцирования суммы и формулу $(a^x)' = a^x \ln a$, находим: $$ f'(x) = (3^x)' + (9^x)' - (27^x)' = 3^x \ln 3 + 9^x \ln 9 - 27^x \ln 27 $$ Учитывая, что $\ln 9 = \ln(3^2) = 2 \ln 3$ и $\ln 27 = \ln(3^3) = 3 \ln 3$, можно вынести общий множитель $\ln 3$: $$ f'(x) = 3^x \ln 3 + 2 \cdot 9^x \ln 3 - 3 \cdot 27^x \ln 3 = (3^x + 2 \cdot 9^x - 3 \cdot 27^x) \ln 3 $$ **Ответ:** функция имеет производную при $x \in (-\infty; +\infty)$; $f'(x) = 3^x \ln 3 + 9^x \ln 9 - 27^x \ln 27 = (3^x + 2 \cdot 9^x - 3 \cdot 27^x) \ln 3$.