ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 284

Преобразуем уравнения системы. Первое уравнение: $$ 4|y - 3| = 12 - 3|x| \iff 3|x| + 4|y - 3| = 12 \iff \frac{|x|}{4} + \frac{|y - 3|}{3} = 1 $$ Графиком этого уравнения на координатной плоскости является ромб с центром в точке $C(0; 3)$ и вершинами $A(0; 6)$, $B(4; 3)$, $C_1(0; 0)$, $D(-4; 3)$. Второе уравнение: $$ y^2 - a^2 = 6y - 9 - x^2 \iff x^2 + y^2 - 6y + 9 = a^2 \iff x^2 + (y - 3)^2 = a^2 $$ При $a = 0$ графиком является единственная точка $C(0; 3)$, а при $a \neq 0$ — окружность с центром в точке $C(0; 3)$ и радиусом $R = |a|$. Число решений системы равно количеству точек пересечения ромба и окружности. Сделаем замену координат $X = x$, $Y = y - 3$. В этих координатах центр обеих фигур находится в начале координат $(0; 0)$: - ромб задается уравнением $\frac{|X|}{4} + \frac{|Y|}{3} = 1$; - окружность задается уравнением $X^2 + Y^2 = R^2$, где $R = |a| \ge 0$. В силу симметрии фигуры относительно координатных осей рассмотрим сторону ромба, лежащую в первой четверти ($X \ge 0$, $Y \ge 0$): $$ \frac{X}{4} + \frac{Y}{3} = 1 \iff 3X + 4Y - 12 = 0 $$ Найдем расстояние $d$ от начала координат до прямой, содержащей эту сторону: $$ d = \frac{|3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 - 12|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{12}{5} = 2{,}4 $$ Вершины ромба находятся на расстояниях: - $R_1 = 3$ (точки $(0; 3)$ и $(0; -3)$); - $R_2 = 4$ (точки $(4; 0)$ и $(-4; 0)$). Определим количество точек пересечения окружности радиуса $R$ со сторонами ромба: 1. При $R < 2{,}4$ окружность целиком лежит внутри ромба — $0$ решений. 2. При $R = 2{,}4$ окружность касается каждой из четырех сторон ромба в одной точке — ровно $4$ решения. 3. При $2{,}4 < R < 3$ окружность пересекает каждую из четырех сторон ромба в двух точках — $8$ решений. 4. При $R = 3$ окружность проходит через две вершины $(0; \pm 3)$ и пересекает каждую из четырех сторон еще в одной точке — $6$ решений. 5. При $3 < R < 4$ окружность пересекает каждую из четырех сторон ромба ровно в одной внутренней точке — ровно $4$ решения. 6. При $R = 4$ окружность проходит через две вершины $(\pm 4; 0)$ — $2$ решения. 7. При $R > 4$ ромб целиком лежит внутри окружности — $0$ решений. Таким образом, система имеет ровно четыре решения в следующих случаях: 1) $R = 2{,}4 \implies |a| = 2{,}4 \implies a = \pm 2{,}4$; 2) $3 < R < 4 \implies 3 < |a| < 4 \implies a \in (-4; -3) \cup (3; 4)$. Ответ: $a \in (-4; -3) \cup \{-2{,}4\} \cup \{2{,}4\} \cup (3; 4)$.