ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 280

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель определён и отличен от нуля. Составим систему: $$ \begin{cases} 2 \sin^2 x + 2 \sin x \cos 2x - 1 = 0, \\ \cos x > 0. \end{cases} $$ Преобразуем числитель. Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$, откуда $2\sin^2 x - 1 = -\cos 2x$: $$ (2 \sin^2 x - 1) + 2 \sin x \cos 2x = 0 $$ $$ -\cos 2x + 2 \sin x \cos 2x = 0 $$ Вынесем общий множитель $\cos 2x$ за скобки: $$ \cos 2x (2 \sin x - 1) = 0 $$ Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: 1) $\cos 2x = 0$ $$ 2x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 2) $2 \sin x - 1 = 0 \implies \sin x = \frac{1}{2}$ $$ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi m \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z} $$ С учётом условия $\cos x > 0$ решения уравнения должны лежать в I или IV координатных четвертях: - Из серии $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$ условию $\cos x > 0$ удовлетворяют только точки $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$ (I четверть) и $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$ (IV четверть), что можно записать как $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \; n \in \mathbb{Z}$. Точки $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$ и $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$ лежат во II и III четвертях, где $\cos x < 0$, и корнями не являются. - Из корней уравнения $\sin x = \frac{1}{2}$ условию $\cos x > 0$ удовлетворяет только $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi m, \; m \in \mathbb{Z}$ (I четверть). Для корней $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m$ (II четверть) значение $\cos x < 0$. Ответ: $\pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \; \frac{\pi}{6} + 2\pi m, \quad n, m \in \mathbb{Z}$.