ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 245

Раскроем модуль в правой части уравнения: $$ |x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0, \\ -x, & \text{если } x < 0. \end{cases} $$ Тогда выражение $(x - |x|)x$ принимает вид: - при $x \ge 0$: $(x - x)x = 0$; - при $x < 0$: $(x - (-x))x = 2x^2$. Рассмотрим два случая. --- ### 1. Случай $x \ge 0$ Уравнение принимает вид: $$ 8 + 4p(x - 2) = 0 $$ Преобразуем его: $$ 4p(x - 2) = -8 \iff p(x - 2) = -2 $$ - Если $p = 0$, получаем $0 \cdot (x - 2) = -2$, что не имеет решений. - Если $p \neq 0$: $$ x - 2 = -\frac{2}{p} \implies x = 2 - \frac{2}{p} $$ Проверим условие $x \ge 0$: $$ 2 - \frac{2}{p} \ge 0 \iff 1 - \frac{1}{p} \ge 0 \iff \frac{p - 1}{p} \ge 0 $$ Решая методом интервалов, получаем: $$ p \in (-\infty; 0) \cup [1; +\infty) $$ Таким образом: - при $p \in (-\infty; 0) \cup [1; +\infty)$ на промежутке $[0; +\infty)$ существует корень $x = 2 - \frac{2}{p}$; - при $p \in [0; 1)$ на промежутке $[0; +\infty)$ решений нет. --- ### 2. Случай $x < 0$ Уравнение принимает вид: $$ 8 + 4p(x - 2) = 2x^2 $$ Разделим обе части на 2 и перенесём все слагаемые в одну сторону: $$ x^2 - 2p(x - 2) - 4 = 0 $$ $$ x^2 - 2px + 4p - 4 = 0 $$ Найдём дискриминант квадратного уравнения: $$ \frac{D}{4} = (-p)^2 - 1 \cdot (4p - 4) = p^2 - 4p + 4 = (p - 2)^2 $$ Корни уравнения: $$ x = p \pm \sqrt{(p - 2)^2} = p \pm |p - 2| $$ $$ x_1 = p + (p - 2) = 2p - 2 $$ $$ x_2 = p - (p - 2) = 2 $$ Корень $x_2 = 2$ не удовлетворяет условию $x < 0$ ни при каких $p$. Корень $x_1 = 2p - 2$ удовлетворяет условию $x < 0$, если: $$ 2p - 2 < 0 \iff p < 1 $$ Таким образом: - при $p < 1$ на промежутке $(-\infty; 0)$ существует корень $x = 2p - 2$; - при $p \ge 1$ на промежутке $(-\infty; 0)$ решений нет. --- ### Анализ количества и вида решений при всех $p$ Объединим результаты обоих случаев: 1. **При $p < 0$:** - на промежутке $x \ge 0$ есть корень $x = 2 - \frac{2}{p}$; - на промежутке $x < 0$ есть корень $x = 2p - 2$. Так как корни лежат в непересекающихся промежутках, они различны. Уравнение имеет **два решения**. 2. **При $0 \le p < 1$:** - на промежутке $x \ge 0$ решений нет; - на промежутке $x < 0$ есть один корень $x = 2p - 2$. Уравнение имеет **единственное решение**: $x = 2p - 2$. 3. **При $p \ge 1$:** - на промежутке $x \ge 0$ есть один корень $x = 2 - \frac{2}{p}$; - на промежутке $x < 0$ решений нет. Уравнение имеет **единственное решение**: $x = 2 - \frac{2}{p}$. Следовательно, уравнение имеет единственное решение при всех $p \ge 0$. --- **Ответ:** Уравнение имеет единственное решение при $p \in [0; +\infty)$. Решения уравнения при каждом значении параметра $p$: - если $p < 0$, то $x = 2p - 2$ и $x = 2 - \frac{2}{p}$; - если $0 \le p < 1$, то $x = 2p - 2$; - если $p \ge 1$, то $x = 2 - \frac{2}{p}$.