ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 244

Исходное уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} x - 1 \ge 0, \\ (x - 1)^2 = (1 - a)x - 1 + 3a + 2a^2 \end{cases} $$ Раскроем скобки во втором уравнении и приведём подобные слагаемые: $$ x^2 - 2x + 1 = (1 - a)x - 1 + 3a + 2a^2 $$ $$ x^2 - 2x - (1 - a)x + 1 + 1 - 3a - 2a^2 = 0 $$ $$ x^2 + (a - 3)x - (2a^2 + 3a - 2) = 0 $$ Разложим свободный член на множители: $$ 2a^2 + 3a - 2 = 2\left(a - \frac{1}{2}\right)(a + 2) = (2a - 1)(a + 2) $$ Уравнение принимает вид: $$ x^2 + (a - 3)x - (2a - 1)(a + 2) = 0 $$ По теореме Виета корни квадратного уравнения: $$ x_1 = 1 - 2a, \quad x_2 = a + 2 $$ Действительно: - $x_1 + x_2 = (1 - 2a) + (a + 2) = 3 - a = -(a - 3)$; - $x_1 \cdot x_2 = (1 - 2a)(a + 2) = -(2a - 1)(a + 2)$. Исходное уравнение имеет решение, если корень удовлетворяет условию $x \ge 1$. По условию задачи требуется найти решения на промежутке $(-\infty; 5]$. Следовательно, корень является решением уравнения на данном промежутке тогда и только тогда, когда он принадлежит отрезку $[1; 5]$: $$ 1 \le x \le 5 $$ Выясним, при каких значениях $a$ каждый из корней принадлежит отрезку $[1; 5]$: 1) Для корня $x_1 = 1 - 2a$: $$ 1 \le 1 - 2a \le 5 \iff 0 \le -2a \le 4 \iff -2 \le a \le 0 $$ То есть $x_1 \in [1; 5]$ при $a \in [-2; 0]$. 2) Для корня $x_2 = a + 2$: $$ 1 \le a + 2 \le 5 \iff -1 \le a \le 3 $$ То есть $x_2 \in [1; 5]$ при $a \in [-1; 3]$. 3) Корни совпадают ($x_1 = x_2$), если: $$ 1 - 2a = a + 2 \iff 3a = -1 \iff a = -\frac{1}{3} $$ При $a = -\frac{1}{3}$ получаем: $$ x_1 = x_2 = -\frac{1}{3} + 2 = \frac{5}{3} \in [1; 5] $$ Значит, при $a = -\frac{1}{3}$ уравнение имеет единственное решение. Уравнение имеет ровно одно решение на промежутке $(-\infty; 5]$ в следующих случаях: 1. Корни совпадают и лежат на отрезке $[1; 5]$: $$a = -\frac{1}{3}$$ 2. Корень $x_1$ лежит на отрезке $[1; 5]$, а корень $x_2$ не лежит на отрезке $[1; 5]$: $$a \in [-2; 0] \setminus [-1; 3] \implies a \in [-2; -1)$$ 3. Корень $x_2$ лежит на отрезке $[1; 5]$, а корень $x_1$ не лежит на отрезке $[1; 5]$: $$a \in [-1; 3] \setminus [-2; 0] \implies a \in (0; 3]$$ Объединяя найденные значения, получаем: $$ a \in [-2; -1) \cup \left\{-\frac{1}{3}\right\} \cup (0; 3] $$ Ответ: $[-2; -1) \cup \left\{-\frac{1}{3}\right\} \cup (0; 3]$.