ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 228

а) $$ \begin{cases} 2^{y-3} = 8^{x-2} \\ 2 \log_3 (y-x) - \log_3 x = 1 \end{cases} $$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ) системы: $$ \begin{cases} y - x > 0 \\ x > 0 \end{cases} $$ Преобразуем первое уравнение системы, приведя степени к основанию $2$: $$ 2^{y-3} = (2^3)^{x-2} $$ $$ 2^{y-3} = 2^{3(x-2)} $$ Приравниваем показатели: $$ y - 3 = 3x - 6 $$ $$ y = 3x - 3 $$ Преобразуем второе уравнение системы, используя свойства логарифма: $$ \log_3 (y-x)^2 - \log_3 x = 1 $$ $$ \log_3 \frac{(y-x)^2}{x} = 1 $$ По определению логарифма: $$ \frac{(y-x)^2}{x} = 3^1 $$ $$ (y-x)^2 = 3x $$ Подставим выражение $y = 3x - 3$ в полученное уравнение: $$ (3x - 3 - x)^2 = 3x $$ $$ (2x - 3)^2 = 3x $$ $$ 4x^2 - 12x + 9 = 3x $$ $$ 4x^2 - 15x + 9 = 0 $$ Решим квадратное уравнение: $$ D = (-15)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 225 - 144 = 81 = 9^2 $$ $$ x_1 = \frac{15 + 9}{2 \cdot 4} = \frac{24}{8} = 3 $$ $$ x_2 = \frac{15 - 9}{2 \cdot 4} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} = 0{,}75 $$ Проверим корни по ОДЗ: 1) При $x_1 = 3$: $y_1 = 3 \cdot 3 - 3 = 6$. Проверим условия: $x = 3 > 0$ и $y - x = 6 - 3 = 3 > 0$ — удовлетворяет ОДЗ. 2) При $x_2 = 0{,}75$: $y_2 = 3 \cdot 0{,}75 - 3 = 2{,}25 - 3 = -0{,}75$. Проверим условие: $y - x = -0{,}75 - 0{,}75 = -1{,}5 < 0$ — не удовлетворяет ОДЗ. Ответ: $(3; 6)$. б) $$ \begin{cases} 2^y = 4^{x-3} \\ 2 \log_2 (x-y) - \log_2 y = 1 \end{cases} $$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ) системы: $$ \begin{cases} x - y > 0 \\ y > 0 \end{cases} $$ Преобразуем первое уравнение системы, приведя степени к основанию $2$: $$ 2^y = (2^2)^{x-3} $$ $$ 2^y = 2^{2(x-3)} $$ Приравниваем показатели: $$ y = 2x - 6 $$ Преобразуем второе уравнение системы, используя свойства логарифма: $$ \log_2 (x-y)^2 - \log_2 y = 1 $$ $$ \log_2 \frac{(x-y)^2}{y} = 1 $$ По определению логарифма: $$ \frac{(x-y)^2}{y} = 2^1 $$ $$ (x-y)^2 = 2y $$ Подставим выражение $y = 2x - 6$ в уравнение: $$ (x - (2x - 6))^2 = 2(2x - 6) $$ $$ (6 - x)^2 = 4x - 12 $$ $$ 36 - 12x + x^2 = 4x - 12 $$ $$ x^2 - 16x + 48 = 0 $$ По теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 16 \\ x_1 \cdot x_2 = 48 \end{cases} \implies x_1 = 4, \quad x_2 = 12 $$ Проверим корни по ОДЗ: 1) При $x_1 = 4$: $y_1 = 2 \cdot 4 - 6 = 2$. Проверим условия: $y = 2 > 0$ и $x - y = 4 - 2 = 2 > 0$ — удовлетворяет ОДЗ. 2) При $x_2 = 12$: $y_2 = 2 \cdot 12 - 6 = 18$. Проверим условие: $x - y = 12 - 18 = -6 < 0$ — не удовлетворяет ОДЗ. Ответ: $(4; 2)$.