ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 227

а) Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} 3x^2 - 2xy = 1 \\ 2\log_3(y+2) = \log_3(5x-2) \end{cases} $$ 1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ) системы. Аргументы логарифмов должны быть строго положительными: $$ \begin{cases} y + 2 > 0 \\ 5x - 2 > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} y > -2 \\ x > \dfrac{2}{5} \end{cases} $$ 2. Преобразуем второе уравнение системы с помощью свойства логарифма степени $2\log_a b = \log_a (b^2)$: $$ \log_3(y+2)^2 = \log_3(5x-2) $$ Потенцируя по основанию $3$, получаем: $$ (y+2)^2 = 5x - 2 $$ 3. Так как по ОДЗ $x > \dfrac{2}{5} > 0$, выразим $y$ через $x$ из первого уравнения системы: $$ 3x^2 - 2xy = 1 \implies 2xy = 3x^2 - 1 \implies y = \frac{3x^2 - 1}{2x} $$ Тогда выражение $y + 2$ принимает вид: $$ y + 2 = \frac{3x^2 - 1}{2x} + 2 = \frac{3x^2 + 4x - 1}{2x} $$ 4. Подставим полученное выражение для $y + 2$ в уравнение $(y+2)^2 = 5x - 2$: $$ \left(\frac{3x^2 + 4x - 1}{2x}\right)^2 = 5x - 2 $$ $$ \frac{(3x^2 + 4x - 1)^2}{4x^2} = 5x - 2 $$ Умножим обе части уравнения на $4x^2$ ($x \neq 0$): $$ (3x^2 + 4x - 1)^2 = 4x^2(5x - 2) $$ Раскроем скобки в левой и правой частях: $$ ((3x^2 + 4x) - 1)^2 = 20x^3 - 8x^2 $$ $$ (3x^2 + 4x)^2 - 2(3x^2 + 4x) + 1 = 20x^3 - 8x^2 $$ $$ 9x^4 + 24x^3 + 16x^2 - 6x^2 - 8x + 1 = 20x^3 - 8x^2 $$ $$ 9x^4 + 24x^3 + 10x^2 - 8x + 1 = 20x^3 - 8x^2 $$ Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные члены: $$ 9x^4 + 4x^3 + 18x^2 - 8x + 1 = 0 $$ 5. Выделим полные квадраты в левой части уравнения: $$ \left(9x^4 + 4x^3 + \frac{4}{9}x^2\right) + \left(18x^2 - \frac{4}{9}x^2 - 8x + 1\right) = 0 $$ $$ \left(3x^2 + \frac{2}{3}x\right)^2 + \left(\frac{158}{9}x^2 - 8x + 1\right) = 0 $$ Рассмотрим квадратный трехчлен $\dfrac{158}{9}x^2 - 8x + 1$. Его дискриминант: $$ D = (-8)^2 - 4 \cdot \frac{158}{9} \cdot 1 = 64 - \frac{632}{9} = \frac{576 - 632}{9} = -\frac{56}{9} < 0 $$ Так как старший коэффициент $\dfrac{158}{9} > 0$ и $D < 0$, трехчлен $\dfrac{158}{9}x^2 - 8x + 1 > 0$ при всех $x \in \mathbb{R}$. С учетом того, что $\left(3x^2 + \dfrac{2}{3}x\right)^2 \ge 0$, сумма неотрицательного и строго положительного выражений строго больше нуля: $$ 9x^4 + 4x^3 + 18x^2 - 8x + 1 > 0 \quad \text{при всех } x \in \mathbb{R} $$ Значит, полученное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, система не имеет решений. Ответ: решений нет. --- б) Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} 2y^2 - 3xy = 1 \\ 2\log_2(x+1) = \log_2(3y-5) \end{cases} $$ 1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ) системы: $$ \begin{cases} x + 1 > 0 \\ 3y - 5 > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x > -1 \\ y > \dfrac{5}{3} \end{cases} $$ 2. Преобразуем второе уравнение системы: $$ \log_2(x+1)^2 = \log_2(3y-5) $$ Потенцируя по основанию $2$, получаем: $$ (x+1)^2 = 3y - 5 $$ 3. Так как по ОДЗ $y > \dfrac{5}{3} > 0$, выразим $x$ через $y$ из первого уравнения: $$ 2y^2 - 3xy = 1 \implies 3xy = 2y^2 - 1 \implies x = \frac{2y^2 - 1}{3y} $$ Тогда выражение $x + 1$ равно: $$ x + 1 = \frac{2y^2 - 1}{3y} + 1 = \frac{2y^2 + 3y - 1}{3y} $$ 4. Подставим выражение для $x + 1$ в уравнение $(x+1)^2 = 3y - 5$: $$ \left(\frac{2y^2 + 3y - 1}{3y}\right)^2 = 3y - 5 $$ $$ \frac{(2y^2 + 3y - 1)^2}{9y^2} = 3y - 5 $$ Умножим обе части уравнения на $9y^2$ ($y \neq 0$): $$ (2y^2 + 3y - 1)^2 = 9y^2(3y - 5) $$ Раскроем скобки в обеих частях: $$ ((2y^2 + 3y) - 1)^2 = 27y^3 - 45y^2 $$ $$ (2y^2 + 3y)^2 - 2(2y^2 + 3y) + 1 = 27y^3 - 45y^2 $$ $$ 4y^4 + 12y^3 + 9y^2 - 4y^2 - 6y + 1 = 27y^3 - 45y^2 $$ $$ 4y^4 + 12y^3 + 5y^2 - 6y + 1 = 27y^3 - 45y^2 $$ Перенесем все слагаемые в левую часть: $$ 4y^4 - 15y^3 + 50y^2 - 6y + 1 = 0 $$ 5. Выделим полные квадраты: $$ \left(4y^4 - 15y^3 + \frac{225}{16}y^2\right) + \left(50y^2 - \frac{225}{16}y^2 - 6y + 1\right) = 0 $$ $$ \left(2y^2 - \frac{15}{4}y\right)^2 + \left(\frac{575}{16}y^2 - 6y + 1\right) = 0 $$ Найдем дискриминант трехчлена $\dfrac{575}{16}y^2 - 6y + 1$: $$ D = (-6)^2 - 4 \cdot \frac{575}{16} \cdot 1 = 36 - \frac{575}{4} = \frac{144 - 575}{4} = -\frac{431}{4} < 0 $$ Так как старший коэффициент $\dfrac{575}{16} > 0$ и $D < 0$, квадратный трехчлен $\dfrac{575}{16}y^2 - 6y + 1 > 0$ при любых $y \in \mathbb{R}$. Следовательно: $$ 4y^4 - 15y^3 + 50y^2 - 6y + 1 > 0 \quad \text{при всех } y \in \mathbb{R} $$ Уравнение не имеет действительных корней, а значит, система не имеет решений. Ответ: решений нет.