ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 197

### № 197 **а)** $(x-2)(x-3)\sqrt{x-1} \leqslant 0$ 1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ): подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $$ x - 1 \geqslant 0 \implies x \geqslant 1 $$ 2. Рассмотрим два случая: - Если $\sqrt{x-1} = 0$, то $x = 1$. При $x = 1$ левая часть неравенства равна $0$, а неравенство $0 \leqslant 0$ верно. Значит, $x = 1$ является решением. - Если $\sqrt{x-1} > 0$ (то есть $x > 1$), разделим обе части неравенства на положительный множитель $\sqrt{x-1}$: $$ (x-2)(x-3) \leqslant 0 $$ Решим полученное квадратичное неравенство методом интервалов: корнями левой части являются числа $2$ и $3$, знаки выражения чередуются: плюс, минус, плюс. Значит, неравенство выполняется при $x \in [2; 3]$. Все точки этого отрезка удовлетворяют условию $x > 1$. 3. Объединяем найденные решения: $$ x \in \{1\} \cup [2; 3] $$ Ответ: $\{1\} \cup [2; 3]$. --- **б)** $(x+2)(x+3)\sqrt{x+11} \leqslant 0$ 1. ОДЗ: $$ x + 11 \geqslant 0 \implies x \geqslant -11 $$ 2. Рассмотрим случаи равенства и строгого знака корня: - Если $\sqrt{x+11} = 0$, то $x = -11$. Подставим $x = -11$ в неравенство: $0 \leqslant 0$ — верно. Точка $x = -11$ является решением. - Если $\sqrt{x+11} > 0$ (то есть $x > -11$), разделим обе части на $\sqrt{x+11}$: $$ (x+2)(x+3) \leqslant 0 $$ Корни множителей: $x = -3$ и $x = -2$. Произведение неположительно между корнями: $$ x \in [-3; -2] $$ Отрезок $[-3; -2]$ удовлетворяет условию $x > -11$. 3. Объединяем решение $x = -11$ и отрезок $[-3; -2]$: $$ x \in \{-11\} \cup [-3; -2] $$ Ответ: $\{-11\} \cup [-3; -2]$. --- **в)** $(x-4)(x+3)\sqrt{x} \geqslant 0$ 1. ОДЗ: $$ x \geqslant 0 $$ 2. Рассмотрим случаи: - Если $\sqrt{x} = 0$, то $x = 0$. При $x = 0$ получаем $0 \geqslant 0$ — верно, $x = 0$ входит в ответ. - Если $\sqrt{x} > 0$ (то есть $x > 0$), разделим обе части неравенства на $\sqrt{x}$: $$ (x-4)(x+3) \geqslant 0 $$ Корни левой части: $x = -3$ и $x = 4$. Неравенство выполняется вне корней: $$ x \in (-\infty; -3] \cup [4; +\infty) $$ С учётом условия $x > 0$ получаем интервал $[4; +\infty)$. 3. Объединяем решение $x = 0$ и промежуток $[4; +\infty)$: $$ x \in \{0\} \cup [4; +\infty) $$ Ответ: $\{0\} \cup [4; +\infty)$. --- **г)** $(x-8)(x+7)\sqrt{x} \geqslant 0$ 1. ОДЗ: $$ x \geqslant 0 $$ 2. Рассмотрим случаи: - Если $\sqrt{x} = 0$, то $x = 0$. При $x = 0$ левая часть равна $0$, получаем верное неравенство $0 \geqslant 0$. Значит, $x = 0$ является решением. - Если $\sqrt{x} > 0$ (то есть $x > 0$), разделим обе части на $\sqrt{x}$: $$ (x-8)(x+7) \geqslant 0 $$ Корни выражения: $x = -7$ и $x = 8$. Неравенство выполняется при: $$ x \in (-\infty; -7] \cup [8; +\infty) $$ С учётом условия $x > 0$ остаётся только луч $[8; +\infty)$. 3. Объединяем решение $x = 0$ и промежуток $[8; +\infty)$: $$ x \in \{0\} \cup [8; +\infty) $$ Ответ: $\{0\} \cup [8; +\infty)$.