ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 144

Решим уравнение: $$ \log_{\pi} |x^2 - 1| = \log_{\sqrt{\pi}} |x| $$ 1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком логарифма должны быть строго больше нуля: $$ \begin{cases} |x^2 - 1| > 0 \\ |x| > 0 \end{cases} $$ Так как модуль любого действительного числа неотрицателен, строгие неравенства выполняются при условии, что подмодульные выражения не равны нулю: $$ \begin{cases} x^2 - 1 \neq 0 \\ x \neq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \neq \pm 1 \\ x \neq 0 \end{cases} $$ 2. Преобразуем правую часть уравнения, используя свойство логарифма $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$: $$ \log_{\sqrt{\pi}} |x| = \log_{\pi^{\frac{1}{2}}} |x| = \frac{1}{\frac{1}{2}}\log_{\pi} |x| = 2\log_{\pi} |x| $$ Внесем множитель 2 в показатель аргумента: $$ 2\log_{\pi} |x| = \log_{\pi} (|x|^2) = \log_{\pi} (x^2) $$ 3. Перепишем исходное уравнение с одинаковым основанием логарифма: $$ \log_{\pi} |x^2 - 1| = \log_{\pi} (x^2) $$ Приравняем подлогарифмические выражения: $$ |x^2 - 1| = x^2 $$ 4. Решим полученное уравнение с модулем: $$ x^2 - 1 = x^2 \quad \text{или} \quad x^2 - 1 = -x^2 $$ Первое уравнение: $$ x^2 - 1 = x^2 \implies -1 = 0 \quad \text{— решений нет.} $$ Второе уравнение: $$ x^2 - 1 = -x^2 $$ $$ 2x^2 = 1 $$ $$ x^2 = \frac{1}{2} $$ $$ x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} $$ 5. Проверим найденные значения по ОДЗ: $$ x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \neq 0, \quad x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \neq \pm 1 $$ Оба корня удовлетворяют области допустимых значений. Ответ: $\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ (или $\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$).