ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 14 - 43

Запишем исходную систему уравнений: $$ \begin{cases} y^{1 - \frac{2}{5}\log_{x} y} = x^{\frac{2}{5}}, \\ 1 + \log_{x} \left( 1 - \dfrac{3y}{x} \right) = \log_{x} 4. \end{cases} $$ **1. Область допустимых значений (ОДЗ):** Основание логарифма должно быть положительным и отличным от единицы, а подлогарифмические выражения — строго положительными: $$ \begin{cases} x > 0, \\ x \neq 1, \\ y > 0, \\ 1 - \dfrac{3y}{x} > 0. \end{cases} $$ Так как $x > 0$, условие $1 - \dfrac{3y}{x} > 0$ равносильно: $$ \frac{x - 3y}{x} > 0 \iff x - 3y > 0 \iff x > 3y. $$ **2. Преобразуем второе уравнение системы:** $$ 1 + \log_{x} \left( 1 - \frac{3y}{x} \right) = \log_{x} 4 $$ Представим $1$ как $\log_{x} x$: $$ \log_{x} x + \log_{x} \left( \frac{x - 3y}{x} \right) = \log_{x} 4 $$ По свойству суммы логарифмов: $$ \log_{x} \left( x \cdot \frac{x - 3y}{x} \right) = \log_{x} 4 $$ $$ \log_{x} (x - 3y) = \log_{x} 4 $$ Отсюда получаем: $$ x - 3y = 4 \implies x = 3y + 4 $$ Заметим, что условие $x - 3y > 0$ выполняется ($4 > 0$). При $y > 0$ значение $x = 3y + 4 > 4$, поэтому условия $x > 0$ и $x \neq 1$ также выполняются. **3. Преобразуем первое уравнение системы:** $$ y^{1 - \frac{2}{5}\log_{x} y} = x^{\frac{2}{5}} $$ Прологарифмируем обе части уравнения по основанию $x$: $$ \log_{x} \left( y^{1 - \frac{2}{5}\log_{x} y} \right) = \log_{x} \left( x^{\frac{2}{5}} \right) $$ Вынесем показатели степеней за знаки логарифмов: $$ \left( 1 - \frac{2}{5}\log_{x} y \right) \log_{x} y = \frac{2}{5} $$ Пусть $t = \log_{x} y$. Тогда уравнение принимает вид: $$ \left( 1 - \frac{2}{5}t \right) t = \frac{2}{5} $$ $$ t - \frac{2}{5}t^2 = \frac{2}{5} $$ Умножим обе части уравнения на $5$ и перенесем слагаемые: $$ 2t^2 - 5t + 2 = 0 $$ Найдем корни квадратного уравнения: $$ D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2 $$ $$ t_1 = \frac{5 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \quad t_2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2 $$ **4. Возврат к переменным:** * Первый случай: $t = \dfrac{1}{2}$ $$ \log_{x} y = \frac{1}{2} \implies y = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x} \implies x = y^2 $$ Подставим выражение $x = y^2$ в соотношение $x = 3y + 4$: $$ y^2 = 3y + 4 $$ $$ y^2 - 3y - 4 = 0 $$ По теореме Виета: $$ y_1 = 4, \quad y_2 = -1 $$ Значение $y = -1$ не удовлетворяет ОДЗ ($y > 0$). Для $y = 4$: $$ x = 4^2 = 16 $$ Пара $(16; 4)$ удовлетворяет всем условиям ОДЗ. * Второй случай: $t = 2$ $$ \log_{x} y = 2 \implies y = x^2 $$ Подставим $y = x^2$ в соотношение $x = 3y + 4$: $$ x = 3x^2 + 4 $$ $$ 3x^2 - x + 4 = 0 $$ Вычислим дискриминант: $$ D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 1 - 48 = -47 < 0 $$ Уравнение не имеет действительных корней. Ответ: $(16; 4)$.