ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 14 - 4

**а)** Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x - 2y = 3 \\ x^2 + y^2 + 1 = 0 \end{cases} $$ Рассмотрим второе уравнение системы: $$ x^2 + y^2 + 1 = 0 $$ Перенесём свободный член в правую часть: $$ x^2 + y^2 = -1 $$ Для любых действительных чисел $x$ и $y$ их квадраты неотрицательны, то есть $x^2 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$. Следовательно, их сумма также неотрицательна: $$ x^2 + y^2 \ge 0 $$ Значит, сумма квадратов действительных чисел не может равняться отрицательному числу $-1$. Так как второе уравнение системы не имеет действительных решений, то и вся система уравнений не имеет действительных решений, что и требовалось доказать. --- **б)** Дана система уравнений: $$ \begin{cases} xy = 3 \\ x^2 + y^2 = 4 \end{cases} $$ Умножим обе части первого уравнения на $2$: $$ 2xy = 6 $$ Вычтем полученное равенство из второго уравнения системы: $$ (x^2 + y^2) - 2xy = 4 - 6 $$ $$ x^2 - 2xy + y^2 = -2 $$ Свернём выражение в левой части по формуле квадрата разности: $$ (x - y)^2 = -2 $$ Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть $(x - y)^2 \ge 0$ при любых действительных $x$ и $y$, равенство $(x - y)^2 = -2$ не имеет решений в действительных числах. Следовательно, данная система уравнений не имеет действительных решений, что и требовалось доказать.