ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 14 - 3

Чтобы определить, какие из пар чисел являются решениями системы уравнений, подставим координаты каждой пары вместо $x$ и $y$ в уравнения систем. ### а) $$ \begin{cases} \sqrt{2 - x} + \sqrt{2 - y} = x + y \\ \sqrt{x - 1} + \sqrt{y - 1} + x - y = 0 \end{cases} $$ 1. Проверим пару $(1; 1)$, то есть $x = 1$, $y = 1$: Подставим в первое уравнение: $\sqrt{2 - 1} + \sqrt{2 - 1} = \sqrt{1} + \sqrt{1} = 1 + 1 = 2$; $x + y = 1 + 1 = 2$. Равенство $2 = 2$ — верно. Подставим во второе уравнение: $\sqrt{1 - 1} + \sqrt{1 - 1} + 1 - 1 = 0 + 0 + 0 = 0$. Равенство $0 = 0$ — верно. Оба равенства верны, значит, пара $(1; 1)$ является решением системы. 2. Проверим пару $(1; 5)$, то есть $x = 1$, $y = 5$: Подставим в первое уравнение: под знаком корня получаем $2 - y = 2 - 5 = -3 < 0$, выражение $\sqrt{2 - y}$ не имеет смысла на множестве действительных чисел. Значит, пара $(1; 5)$ не является решением системы. 3. Проверим пару $(5; 1)$, то есть $x = 5$, $y = 1$: Подставим в первое уравнение: под знаком корня получаем $2 - x = 2 - 5 = -3 < 0$, выражение $\sqrt{2 - x}$ не имеет смысла на множестве действительных чисел. Значит, пара $(5; 1)$ не является решением системы. **Ответ к пункту а:** $(1; 1)$. --- ### б) $$ \begin{cases} \sqrt{x^2 + y^2 - 1} = 5 \\ xy + x + y = 11 \end{cases} $$ 1. Проверим пару $(1; 1)$, то есть $x = 1$, $y = 1$: Подставим в первое уравнение: $\sqrt{1^2 + 1^2 - 1} = \sqrt{1 + 1 - 1} = \sqrt{1} = 1 \neq 5$ — неверно. Значит, пара $(1; 1)$ не является решением системы. 2. Проверим пару $(1; 5)$, то есть $x = 1$, $y = 5$: Подставим в первое уравнение: $\sqrt{1^2 + 5^2 - 1} = \sqrt{1 + 25 - 1} = \sqrt{25} = 5$. Равенство $5 = 5$ — верно. Подставим во второе уравнение: $1 \cdot 5 + 1 + 5 = 5 + 1 + 5 = 11$. Равенство $11 = 11$ — верно. Оба равенства верны, значит, пара $(1; 5)$ является решением системы. 3. Проверим пару $(5; 1)$, то есть $x = 5$, $y = 1$: Подставим в первое уравнение: $\sqrt{5^2 + 1^2 - 1} = \sqrt{25 + 1 - 1} = \sqrt{25} = 5$. Равенство $5 = 5$ — верно. Подставим во второе уравнение: $5 \cdot 1 + 5 + 1 = 5 + 5 + 1 = 11$. Равенство $11 = 11$ — верно. Оба равенства верны, значит, пара $(5; 1)$ также является решением системы. **Ответ к пункту б:** $(1; 5)$, $(5; 1)$.