ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 14 - 26
Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н.
Тип книги: Учебник
Год: 2016
Подробное решение номер / § 14 № 26 по алгебре для учащихся 11 класса Базовый и углубленный уровень, авторов Никольский, Потапов, Решетников 2016
ИИ-решебник / номер / § 14 / 26
Ответ подготовлен нейросетью и может содержать ошибки
Объяснение и пошаговое решение
**а)**
$$\begin{cases} 3^{1 + \log_3(x-2y)} = 9 \\ \log_3(x-2y) + \log_3(x+2y) = 1 + 2\log_3 5 \end{cases}$$
1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ) системы:
$$\begin{cases} x - 2y > 0 \\ x + 2y > 0 \end{cases}$$
2. Преобразуем первое уравнение системы:
$$3^{1 + \log_3(x-2y)} = 3^2$$
Так как основания степеней равны, приравниваем показатели:
$$1 + \log_3(x-2y) = 2$$
$$\log_3(x-2y) = 1$$
$$x - 2y = 3^1$$
$$x - 2y = 3$$
3. Подставим значение $\log_3(x-2y) = 1$ во второе уравнение системы:
$$1 + \log_3(x+2y) = 1 + 2\log_3 5$$
$$\log_3(x+2y) = 2\log_3 5$$
$$\log_3(x+2y) = \log_3(5^2)$$
$$\log_3(x+2y) = \log_3 25$$
$$x + 2y = 25$$
4. Получаем систему линейных уравнений:
$$\begin{cases} x - 2y = 3 \\ x + 2y = 25 \end{cases}$$
Сложим первое и второе уравнения:
$$2x = 28 \implies x = 14$$
Вычтем первое уравнение из второго:
$$4y = 22 \implies y = \frac{22}{4} = 5{,}5$$
5. Проверим выполнение условий ОДЗ:
$$\begin{cases} 14 - 2 \cdot 5{,}5 = 3 > 0 \\ 14 + 2 \cdot 5{,}5 = 25 > 0 \end{cases}$$
Условия ОДЗ выполнены.
**Ответ к пункту а:** $(14; 5{,}5)$
---
**б)**
$$\begin{cases} 5^{1 + \log_5(2x+y)} = 25 \\ \log_5(2x-y) + \log_5(2x+y) = 1 + 2\log_5 3 \end{cases}$$
1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ) системы:
$$\begin{cases} 2x + y > 0 \\ 2x - y > 0 \end{cases}$$
2. Преобразуем первое уравнение системы:
$$5^{1 + \log_5(2x+y)} = 5^2$$
Приравниваем показатели:
$$1 + \log_5(2x+y) = 2$$
$$\log_5(2x+y) = 1$$
$$2x + y = 5^1$$
$$2x + y = 5$$
3. Подставим значение $\log_5(2x+y) = 1$ во второе уравнение системы:
$$\log_5(2x-y) + 1 = 1 + 2\log_5 3$$
$$\log_5(2x-y) = 2\log_5 3$$
$$\log_5(2x-y) = \log_5(3^2)$$
$$\log_5(2x-y) = \log_5 9$$
$$2x - y = 9$$
4. Получаем систему линейных уравнений:
$$\begin{cases} 2x + y = 5 \\ 2x - y = 9 \end{cases}$$
Сложим оба уравнения:
$$4x = 14 \implies x = \frac{14}{4} = 3{,}5$$
Вычтем второе уравнение из первого:
$$2y = -4 \implies y = -2$$
5. Проверим выполнение условий ОДЗ:
$$\begin{cases} 2 \cdot 3{,}5 + (-2) = 5 > 0 \\ 2 \cdot 3{,}5 - (-2) = 9 > 0 \end{cases}$$
Условия ОДЗ выполнены.
**Ответ к пункту б:** $(3{,}5; -2)$
Оцени решение:
Спасибо за оценку!
