ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 14 - 24

**а)** $$ \begin{cases} 3^{\log_3(x-y)} = 1 \\ \log_3(2x - y) + \log_3 y = 1 \end{cases} $$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ) системы: $$ \begin{cases} x - y > 0 \\ 2x - y > 0 \\ y > 0 \end{cases} $$ Используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$ при $b > 0$, преобразуем первое уравнение: $$ x - y = 1 \implies x = y + 1 $$ Подставим выражение для $x$ во второе уравнение системы: $$ \log_3(2(y + 1) - y) + \log_3 y = 1 $$ $$ \log_3(y + 2) + \log_3 y = 1 $$ По свойству суммы логарифмов: $$ \log_3(y(y + 2)) = 1 $$ $$ y^2 + 2y = 3^1 $$ $$ y^2 + 2y - 3 = 0 $$ По теореме Виета: $y_1 = 1$, $y_2 = -3$. Учитывая ОДЗ ($y > 0$), корень $y = -3$ является посторонним. При $y = 1$: $$ x = 1 + 1 = 2 $$ Проверим выполнение условий ОДЗ для пары $(2; 1)$: $x - y = 2 - 1 = 1 > 0$; $2x - y = 4 - 1 = 3 > 0$; $y = 1 > 0$. Условия выполняются. Ответ: $(2; 1)$. --- **б)** $$ \begin{cases} 2^{\log_2(x-y)} = 1 \\ \log_2(2x - y) + \log_2 y = 1 \end{cases} $$ ОДЗ системы: $$ \begin{cases} x - y > 0 \\ 2x - y > 0 \\ y > 0 \end{cases} $$ По основному логарифмическому тождеству из первого уравнения получаем: $$ x - y = 1 \implies x = y + 1 $$ Подставим $x = y + 1$ во второе уравнение: $$ \log_2(2(y + 1) - y) + \log_2 y = 1 $$ $$ \log_2(y + 2) + \log_2 y = 1 $$ $$ \log_2(y(y + 2)) = 1 $$ $$ y^2 + 2y = 2^1 $$ $$ y^2 + 2y - 2 = 0 $$ Найдем корни через дискриминант: $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12$; $$ y = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -1 \pm \sqrt{3} $$ Так как по ОДЗ $y > 0$, корень $y = -1 - \sqrt{3} < 0$ не подходит. Остается $y = \sqrt{3} - 1$. Найдем $x$: $$ x = (\sqrt{3} - 1) + 1 = \sqrt{3} $$ Проверим ОДЗ: $x - y = 1 > 0$; $y = \sqrt{3} - 1 > 0$; $2x - y = 2\sqrt{3} - (\sqrt{3} - 1) = \sqrt{3} + 1 > 0$. Все условия выполняются. Ответ: $(\sqrt{3}; \sqrt{3} - 1)$. --- **в)** $$ \begin{cases} 2^{1 + \log_2(x-2y)} = x \\ 3^{x^2 - 6y} = 9^y \end{cases} $$ ОДЗ системы определяется условием существования логарифма: $x - 2y > 0$. Преобразуем первое уравнение, применив свойства степеней и логарифмов: $$ 2^1 \cdot 2^{\log_2(x-2y)} = x $$ $$ 2(x - 2y) = x $$ $$ 2x - 4y = x \implies x = 4y $$ Так как $x - 2y > 0$, то $4y - 2y > 0 \implies 2y > 0 \implies y > 0$. Преобразуем второе уравнение: $$ 3^{x^2 - 6y} = (3^2)^y $$ $$ 3^{x^2 - 6y} = 3^{2y} $$ Так как основания равны, приравниваем показатели: $$ x^2 - 6y = 2y \implies x^2 - 8y = 0 $$ Подставим $x = 4y$ в полученное уравнение: $$ (4y)^2 - 8y = 0 $$ $$ 16y^2 - 8y = 0 $$ $$ 8y(2y - 1) = 0 $$ Отсюда: $y_1 = 0$ (не удовлетворяет условию $y > 0$); $2y - 1 = 0 \implies y = \frac{1}{2} = 0{,}5$. Найдем значение $x$: $$ x = 4 \cdot 0{,}5 = 2 $$ Проверим ОДЗ: $x - 2y = 2 - 2 \cdot 0{,}5 = 1 > 0$ — верно. Ответ: $(2; 0{,}5)$. --- **г)** $$ \begin{cases} 2^{x^2 + xy} = 1 \\ 2\log_2 y = \log_2(x + 6) \end{cases} $$ ОДЗ системы: $$ \begin{cases} y > 0 \\ x + 6 > 0 \implies x > -6 \end{cases} $$ Решим первое уравнение: $$ 2^{x^2 + xy} = 2^0 $$ $$ x^2 + xy = 0 $$ $$ x(x + y) = 0 $$ Отсюда получаем два случая: $x = 0$ или $x + y = 0 \implies x = -y$. Преобразуем второе уравнение системы: $$ \log_2(y^2) = \log_2(x + 6) $$ $$ y^2 = x + 6 $$ Рассмотрим оба случая: 1) Если $x = 0$: $$ y^2 = 0 + 6 \implies y^2 = 6 $$ Так как $y > 0$, получаем $y = \sqrt{6}$. Пара $(0; \sqrt{6})$ удовлетворяет ОДЗ ($0 > -6$, $\sqrt{6} > 0$). 2) Если $x = -y$: $$ y^2 = -y + 6 $$ $$ y^2 + y - 6 = 0 $$ По теореме Виета: $y_1 = 2$, $y_2 = -3$. Учитывая ОДЗ ($y > 0$), корень $y = -3$ не подходит. При $y = 2$: $$ x = -2 $$ Проверим ОДЗ: $x = -2 > -6$, $y = 2 > 0$ — верно. Ответ: $(0; \sqrt{6})$, $(-2; 2)$.