ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 13 - 24

**а)** Решим неравенство: $$ \sqrt{x^2 + x + 1} + \frac{1}{\sqrt{x^2 + x + 1}} \le 2 - \ln^2(x^2 + x + 1) $$ 1. Оценим подкоренное выражение: $$ x^2 + x + 1 = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4} > 0 \quad \text{для всех } x \in \mathbb{R} $$ Следовательно, выражение $\sqrt{x^2 + x + 1}$ определено и строго положительно при любом действительном $x$. 2. Оценим левую часть неравенства. Обозначим $t = \sqrt{x^2 + x + 1} > 0$. Сумма двух взаимно обратных положительных чисел удовлетворяет неравенству Коши: $$ t + \frac{1}{t} \ge 2 $$ Причем равенство достигается тогда и только тогда, когда $t = 1$. 3. Оценим правую часть неравенства: Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $\ln^2(x^2 + x + 1) \ge 0$, откуда: $$ 2 - \ln^2(x^2 + x + 1) \le 2 $$ Равенство достигается тогда и только тогда, когда $\ln(x^2 + x + 1) = 0$, то есть $x^2 + x + 1 = 1$. 4. Исходное неравенство имеет вид: $$ \text{Левая часть} \ge 2 \ge \text{Правая часть} $$ Следовательно, неравенство может выполняться только в том случае, когда обе части одновременно равны $2$: $$ \begin{cases} \sqrt{x^2 + x + 1} = 1 \\ \ln(x^2 + x + 1) = 0 \end{cases} $$ Оба уравнения системы равносильны одному и тому же уравнению: $$ x^2 + x + 1 = 1 $$ $$ x^2 + x = 0 $$ $$ x(x + 1) = 0 $$ $$ x_1 = 0, \quad x_2 = -1 $$ Ответ к пункту а: $-1; \, 0$. --- **б)** Решим неравенство: $$ \sqrt{x^2 - 3,5x + 3,5} + \frac{1}{\sqrt{x^2 - 3,5x + 3,5}} \le 2 - \sin^2 \pi x $$ 1. Оценим выражение под корнем: $$ x^2 - 3,5x + 3,5 = \left(x - \frac{7}{4}\right)^2 + 3,5 - \frac{49}{16} = \left(x - \frac{7}{4}\right)^2 + \frac{7}{16} > 0 \quad \text{для всех } x \in \mathbb{R} $$ Значит, выражение $\sqrt{x^2 - 3,5x + 3,5}$ определено и принимает только положительные значения при всех $x \in \mathbb{R}$. 2. Оценим левую часть: Для положительного выражения $u = \sqrt{x^2 - 3,5x + 3,5} > 0$ выполняется: $$ u + \frac{1}{u} \ge 2 $$ Равенство достигается при $u = 1$. 3. Оценим правую часть: Так как $\sin^2 \pi x \ge 0$, то: $$ 2 - \sin^2 \pi x \le 2 $$ Равенство достигается при $\sin \pi x = 0$. 4. Неравенство вида $\text{LHS} \ge 2 \ge \text{RHS}$ выполняется тогда и только тогда, когда обе части равны $2$: $$ \begin{cases} \sqrt{x^2 - 3,5x + 3,5} = 1 \\ \sin \pi x = 0 \end{cases} $$ Решим первое уравнение системы: $$ x^2 - 3,5x + 3,5 = 1 $$ $$ x^2 - 3,5x + 2,5 = 0 $$ Умножим обе части на $2$: $$ 2x^2 - 7x + 5 = 0 $$ $$ D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 49 - 40 = 9 = 3^2 $$ $$ x_1 = \frac{7 - 3}{4} = 1, \quad x_2 = \frac{7 + 3}{4} = 2,5 $$ Проверим найденные значения во втором уравнении системы ($\sin \pi x = 0$): - При $x = 1$: $\sin(\pi \cdot 1) = \sin \pi = 0$ — верно. - При $x = 2,5$: $\sin(2,5\pi) = \sin\left(2\pi + \frac{\pi}{2}\right) = \sin \frac{\pi}{2} = 1 \ne 0$ — не удовлетворяет условию. Таким образом, решением системы является только $x = 1$. Ответ к пункту б: $1$.